Phương trình của đường bình thường của f (x) = x ^ 3-49x ^ 2 + 7x tại x = 7 là gì?

Câu trả lời:

# y = 1 / 532x-2009.013 #

Giải trình:

Đường bình thường tại một điểm là đường thẳng vuông góc với đường tiếp tuyến tại điểm đó. Khi chúng ta giải các bài toán thuộc loại này, chúng ta tìm độ dốc của đường tiếp tuyến bằng cách sử dụng đạo hàm, sử dụng nó để tìm độ dốc của đường bình thường và sử dụng một điểm từ hàm để tìm phương trình đường bình thường.

Bước 1: Độ dốc của đường tiếp tuyến

Tất cả chúng ta làm ở đây là lấy đạo hàm của hàm và đánh giá nó tại # x = 7 #:

#y '= 3x ^ 2-98x + 7 #

#y '(7) = 3 (7) ^ 2-98 (7) + 7 #

#y '(7) = -532 #

Điều đó có nghĩa là độ dốc của đường tiếp tuyến tại # x = 7 # là -532.

Bước 2: Độ dốc của đường bình thường

Độ dốc của đường bình thường đơn giản là nghịch đảo ngược với độ dốc của đường tiếp tuyến (vì hai đường này vuông góc nhau). Vì vậy, chúng tôi chỉ cần lật -532 và làm cho nó tích cực để có được #1/532# như độ dốc của đường bình thường.

Bước cuối cùng: Tìm phương trình

Phương trình đường bình thường có dạng # y = mx + b #, Ở đâu # y # và # x # là những điểm trên đường # m # là độ dốc, và # b # là # y #-xuất hiện. Chúng tôi có độ dốc, # m #, đó là những gì chúng tôi tìm thấy trong bước hai: #1/532#. Các điểm # x # và # y # có thể dễ dàng tìm thấy bằng cách thay thế # x = 7 # vào phương trình và giải # y #:

# y = (7) ^ 3-49 (7) ^ 2 + 7 (7) #

#y = -2009 #

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng tất cả thông tin này để tìm # b #, các # y #-xuất hiện:

# y = mx + b #

# -2009 = (1/532) (7) + b #

# -2009 = 7/ 532 + b #

# -2009-7 / 532 = b #

Chúng ta có thể ước chừng điều này đến -2009.013 hoặc nếu chúng ta thực sự muốn, chúng ta cũng có thể ước chừng nó -2009.

Phương trình của đường bình thường là như vậy # y = 1 / 532x-2009.013 #.