Câu hỏi # 9be0d

Câu trả lời:

Phương trình này là một xấp xỉ năng lượng tương đối tính của hạt cho vận tốc thấp.

Giải trình:

Tôi giả sử một số kiến thức về thuyết tương đối đặc biệt, cụ thể là năng lượng của một hạt chuyển động được quan sát từ một khung quán tính được cung cấp bởi # E = gammamc ^ 2 #, Ở đâu # gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # yếu tố Lorentz. Đây # v # là vận tốc của hạt được quan sát bởi một người quan sát trong một khung quán tính.

Một công cụ xấp xỉ quan trọng cho các nhà vật lý là xấp xỉ chuỗi Taylor. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể tính gần đúng một hàm #f (x) # bởi #f (x) xấp xỉ_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, cao hơn # N #, càng gần đúng. Trong thực tế, đối với một lớp lớn các hàm trơn, phép tính gần đúng này trở thành chính xác như # N # đi đến # oo #. Lưu ý rằng #f ^ ((n)) # là viết tắt của đạo hàm thứ n của # f #.

Chúng tôi gần đúng chức năng #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # cho nhỏ # x #, chúng tôi lưu ý rằng nếu # x # nhỏ, # x ^ 2 # sẽ còn nhỏ hơn nữa, vì vậy chúng tôi cho rằng chúng tôi có thể bỏ qua các yếu tố của đơn đặt hàng này. Vì vậy chúng tôi có #f (x) xấp xỉ (0) + f '(0) x # (phép tính gần đúng đặc biệt này còn được gọi là phép tính gần đúng Newton). #f (0) = 0 # và #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, vì thế #f '(0) = 1/2 #. vì thế #f (x) xấp xỉ 1 + 1 / 2x #.

Bây giờ chúng tôi lưu ý rằng # gamma = f ((v / c) ^ 2) #. Thật vậy nếu # v # nhỏ so với # c #, đó sẽ là trong các tình huống hàng ngày, gần đúng giữ, vì vậy # gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Thay thế điều này trong phương trình tổng năng lượng của hạt mang lại # Eapproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2 #. Điều này cho chúng ta động năng #E _ ("kin") = E-E_ "nghỉ ngơi" xấp xỉ ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2-mc ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2 # cho vận tốc thấp, phù hợp với lý thuyết cổ điển. Đối với vận tốc cao hơn, nên sử dụng nhiều thuật ngữ hơn từ chuỗi Taylor, kết thúc bằng cái gọi là hiệu chỉnh tương đối tính trên động năng.