Làm thế nào để bạn tìm thấy các tiệm cận cho y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Câu trả lời:

Theo chiều dọc

# x = 1 #

# x = 3 #

Ngang

# x = 1 # (cho cả hai # + - oo #)

Xiên

Đừng tồn tại

Giải trình:

Để cho # y = f (x) #

• Các asymptotes dọc

Tìm các giới hạn của hàm vì nó có xu hướng giới hạn của miền ngoại trừ vô cực. Nếu kết quả của họ là vô cùng, hơn thế # x # dòng là một tiệm cận. Ở đây, tên miền là:

#x trong (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Vì vậy, 4 khả thi tiệm cận đứng là:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Tiệm cận # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Tiệm cận đứng cho # x = 1 #

Lưu ý: cho # x-1 # kể từ khi # x # thấp hơn 1 chút, kết quả sẽ thấp hơn 0 một chút, vì vậy dấu hiệu sẽ âm, do đó ghi chú #0^-# mà sau này chuyển thành một dấu hiệu tiêu cực.

Xác nhận cho tiệm cận # x-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Khẳng định

Tiệm cận # x-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Tiệm cận đứng cho # x = 3 #

Xác nhận cho tiệm cận # x-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Khẳng định

• Tiệm cận ngang

Tìm cả hai giới hạn khi hàm có xu hướng # + - oo #

Điểm trừ vô cùng #x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (hủy (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (hủy (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Tiệm cận ngang cho # y = 1 #

Cộng vô cực #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (hủy (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (hủy (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Tiệm cận ngang cho # y = 1 #

Lưu ý: thực tế là chức năng này có chiều ngang chung cho cả hai # -oo # và # + oo #. Bạn nên luôn luôn kiểm tra cả hai.

• Xiên tiệm cận

Trước tiên bạn phải tìm cả hai giới hạn:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Đối với mỗi, nếu giới hạn này là một số thực, thì tiệm cận tồn tại và giới hạn là độ dốc của nó. Các # y # đánh chặn của mỗi là giới hạn:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Tuy nhiên, để cứu chúng tôi khỏi rắc rối, bạn có thể sử dụng một số "kiến thức" chức năng để tránh điều này. Vì chúng ta biết #f (x) # có tiệm cận ngang cho cả hai # + - oo # cách duy nhất để có một xiên là có một dòng khác là #x -> + - oo #. Tuy nhiên, #f (x) # là một #1-1# chức năng vì vậy không thể có hai # y # giá trị cho một # x #, do đó, một dòng thứ hai là không thể, vì vậy không thể có các tiệm cận xiên.