Làm thế nào để bạn tìm thấy extrema cho g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)?

Câu trả lời:

#g (x) # không có tối đa và tối thiểu toàn cầu và địa phương trong # x = -1 #

Giải trình:

Lưu ý rằng:

# (1) "" x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

Vậy hàm

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

được định nghĩa cho mọi #x bằng RR #.

Bên cạnh đó là #f (y) = sqrty # là một chức năng tăng đơn điệu, sau đó bất kỳ cực trị cho #g (x) # cũng là một cực đoan cho:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

Nhưng đây là một đa thức bậc hai với hệ số dương hàng đầu, do đó nó không có cực đại và cực tiểu cục bộ.

Từ #(1)# chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

và:

# x + 1 = 0 #

chỉ khi # x = -1 #, sau đó:

#f (x)> = 4 #

và

#f (x) = 4 #

chỉ dành cho # x = -1 #.

Hậu quả là:

#g (x)> = 2 #

và:

#g (x) = 2 #

chỉ dành cho # x = -1 #.

Chúng ta có thể kết luận rằng #g (x) # không có tối đa và tối thiểu toàn cầu và địa phương trong # x = -1 #

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, # x ##trong## RR #

Chúng ta cần # x ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

# A ## x ##trong## RR #:

#g '(x) = ((x ^ 2 + 2x + 5)') / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2 giây (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (x + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#g '(x) = 0 # #<=># # (x = -1) #

• Dành cho #x <-1 # chúng ta có #g '(x) <0 # vì thế # g # đang giảm nghiêm ngặt trong # (- oo, -1 #

• Dành cho #x> ##-1# chúng ta có #g '(x)> 0 # vì thế # g # đang tăng nghiêm ngặt trong # - 1, + oo) #

Vì thế #g (x)> = g (-1) = 2> 0 #, # A ## x ##trong## RR #

Kết quả là # g # có mức tối thiểu toàn cầu tại # x_0 = -1 #, #g (-1) = 2 #