Câu trả lời:
# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = 0,2746530521 #
Giải trình:
Giải pháp của tôi là theo quy tắc của Simpson, Công thức gần đúng
# int_a ^ b y * dx ~ = #
# h / 3 (y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4 * y_ (n-1) + y_n) #
Ở đâu # h = (b-a) / n # và # b # giới hạn trên và # a # giới hạn dưới
và # n # bất kỳ số chẵn (càng lớn càng tốt)
Tôi chọn
# n = 20 #
được # b = pi / 4 # và # a = 0 #
# h = (pi / 4-0) / 20 = pi / 80 #
Đây là cách tính toán. Mỗi # y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) # sẽ sử dụng giá trị khác nhau
cho # y_0 #
# x_0 = (a + 0 * h) = (0 + 0 * pi / 80) = 0 #
# y_0 = (sin x_0 + cos x_0) / (3 + sin 2x_0) #
# y_0 = (sin (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)) #
# màu (đỏ) (y_0 = 0.3333333333333) #
cho # 4 * y_1 #
# x_1 = (a + 1 * h) = (0 + 1 * pi / 80) = pi / 80 #
# 4 * y_1 = 4 * (sin x_1 + cos x_1) / (3 + sin 2x_1) #
# 4 * y_1 = 4 * (sin (pi / 80) + cos (pi / 80)) / (3 + sin (2 (pi / 80))) #
# màu (đỏ) (4 * y_1 = 1.3493618978936) #
cho # 2 * y_2 #
# x_2 = (a + 2 * h) = (0 + 2 * pi / 80) = 2 * pi / 80 #
# 2 * y_2 = 2 * (sin x_2 + cos x_2) / (3 + sin 2x_2) #
# 2 * y_2 = 2 * (sin ((2pi) / 80) + cos ((2pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((2pi) / 80)) #
# màu (đỏ) (2 * y_2 = 0,68138682514816) #
cho # 4 * y_3 #
# x_3 = (a + 3 * h) = (0 + 3 * pi / 80) = 3 * pi / 80 #
# 4 * y_3 = 4 * (sin x_3 + cos x_3) / (3 + sin 2x_3) #
# 4 * y_3 = 4 * (sin ((3pi) / 80) + cos ((3pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((3pi) / 80)) #
# màu (đỏ) (4 * y_3 = 1.3738977832468) #
cho # 2 * y_4 #
# x_4 = (a + 4 * h) = (0 + 4 * pi / 80) = 4 * pi / 80 #
# 2 * y_4 = 4 * (sin x_4 + cos x_4) / (3 + sin 2x_4) #
# 2 * y_4 = 4 * (sin ((4pi) / 80) + cos ((4pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((4pi) / 80)) #
# màu (đỏ) (2 * y_4 = 0.69151824096418) #
phần còn lại như sau
# màu (đỏ) (4 * y_5 = 1.3904648494964) #
# màu (đỏ) (2 * y_6 = 0,69821575035862) #
# màu (đỏ) (4 * y_7 = 1.4011596185484) #
# màu (đỏ) (2 * y_8 = 0.70242415421322) #
# màu (đỏ) (4 * y_9 = 1.4076741205702) #
# màu (đỏ) (2 * y_10 = 0,7036632049832) #
# màu (đỏ) (4 * y_11 = 1.4113400771087) #
# màu (đỏ) (2 * y_12 = 0.7062173920012) #
# màu (đỏ) (4 * y_13 = 1.4131786935757) #
# màu (đỏ) (2 * y_14 = 0.7068293103707) #
# màu (đỏ) (4 * y_15 = 1.4139474301694) #
# màu (đỏ) (2 * y_16 = 0.70705252678954) #
# màu (đỏ) (4 * y_17 = 1.414179352209) #
# màu (đỏ) (2 * y_18 = 0.70710341105534) #
# màu (đỏ) (4 * y_19 = 1.4142131417552) #
# màu (đỏ) (y_20 = 0.35355339059328) #
Tổng của tất cả những #color (đỏ) ("tổng" = 20.98194762) #
# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = (h / 3) * "tổng" #
# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = ((pi / 80) / 3) * 20.98194762 #
# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = màu (đỏ) (0.2746530521) #
Một cách khác là chỉ cần sử dụng máy tính đồ họa trong khi phát sinh tích hợp phức tạp với giá trị chính xác hơn
# màu (đỏ) (= 0,2746530722) #
Chúa phù hộ … Tôi hy vọng lời giải thích là hữu ích.
Câu trả lời:
# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = ln (3) / 4 #
Giải trình:
Chúng tôi sẽ tiến hành bằng cách sử dụng thay thế. Đầu tiên, chúng ta sẽ đi qua một số đại số để có được tích phân thành một dạng mong muốn hơn.
# 3 + sin (2x) = 3 + 2 giây (x) cos (x) #
# = 4 + 2 giây (x) cos (x) - 1 #
# = 4 + 2sin (x) cos (x) - sin ^ 2 (x) -cos ^ 2 (x) #
# = 4 - (sin (x) -cos (x)) ^ 2 #
# = (2 + sin (x) - cos (x)) (2 - sin (x) + cos (x)) #
# => (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) = (sin (x) + cos (x)) / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #
# = (4 (sin (x) + cos (x))) / (4 (2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x)) #
# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #
# xx4 / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #
# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #
#xx (1 / (2 + sin (x) -cos (x)) + 1 / (2-sin (x) + cos (x))) #
# = 1 / 4xx (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) - 1 / 4xx (-sin (x) -cos (x)) / (2- sin (x) + cos (x)) #
Sử dụng đó, chúng ta có thể tách tích phân:
# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = #
# = 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx #
# - 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx #
Đối với tích phân đầu tiên, sử dụng thay thế #u = 2 + sin (x) - cos (x) # cho chúng tôi #du = (sin (x) + cos (x)) dx # và giới hạn của sự thay đổi hội nhập từ #0# và # pi / 4 # đến #1# và #2#. Như vậy, chúng ta có được
# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #
# = 1/4 (ln | u |) _1 ^ 2 #
# = 1/4 (ln (2) -ln (1)) #
# = 1 / 4ln (2) #
Đối với tích phân thứ hai, sử dụng thay thế #u = 2 - sin (x) + cos (x) # cho chúng tôi #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # và giới hạn của sự thay đổi hội nhập từ #0# và # pi / 4 # đến #3# và #2#. Như vậy, chúng ta có được
# -1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx = -1 / 4int_3 ^ 2 1 / udu #
# = 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu #
# = 1/4 (ln (3) -ln (2)) #
# = 1/4 (ln (3/2)) #
Việc thay thế các giá trị trong các tích phân cho chúng ta kết quả mong muốn:
# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = 1 / 4ln (2) + 1 / 4ln (3/2) #
# = 1/4 (ln (2) + ln (3/2)) #
# = 1 / 4ln (2 * 3/2) #
# = ln (3) / 4 #
