Gọi RR là tập hợp các số thực. Tìm tất cả các hàm f: RR-> RR, thỏa mãn abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) với mọi x, y thuộc RR.?

Câu trả lời:

#f (x) = chiều 2 x + C_0 #

Giải trình:

Nếu #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) # sau đó #f (x) # là Lipschitz liên tục. Vậy hàm #f (x) # là khác biệt Sau đó, sau

#abs (f (x) -f (y)) / (abs (x-y)) = 2 # hoặc là

#abs ((f (x) -f (y)) / (x-y)) = 2 # hiện nay

#lim_ (x-> y) abs ((f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (lim_ (x-> y) (f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (f '(y)) = 2 #

vì thế

#f (x) = chiều 2 x + C_0 #