Một hạt được ném qua một hình tam giác từ một đầu của một cơ sở nằm ngang và sượt qua đỉnh rơi ở đầu kia của cơ sở. Nếu alpha và beta là góc cơ sở và theta là góc chiếu, Chứng minh rằng tan theta = tan alpha + tan beta?

Cho rằng một hạt được ném với góc chiếu # theta # trên một hình tam giác # DeltaACB # từ một trong những kết thúc của nó # A # của cơ sở ngang # AB # căn dọc theo trục X và cuối cùng nó rơi ở đầu kia # B #của cơ sở, chăn thả đỉnh #C (x, y) #

Để cho # u # là vận tốc của phép chiếu, # T # là thời gian của chuyến bay, # R = AB # là phạm vi ngang và # t # là thời gian mà hạt đạt được tại C # (x, y) #

Thành phần nằm ngang của vận tốc chiếu # -> ucostheta #

Thành phần thẳng đứng của vận tốc chiếu # -> usintheta #

Xem xét chuyển động dưới trọng lực mà không có bất kỳ sức cản không khí, chúng ta có thể viết

# y = usinthetat-1/2 g t ^ 2 ….. 1 #

# x = ucosthetat ………………. 2 #

kết hợp 1 và 2 chúng ta có được

# y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / (u ^ 2cos ^ 2theta) #

# => y = usinthetaxxx / (ucostheta) -1/2 xxgxxx ^ 2 / u ^ 2xxsec ^ 2theta #

# => màu (xanh dương) (y / x = tantheta - ((gsec ^ 2theta) / (2u ^ 2)) x …….. 3) #

Bây giờ trong thời gian của chuyến bay # T # chuyển vị dọc bằng không

Vì thế

# 0 = usinthetaT-1/2 g T ^ 2 #

# => T = (2usintheta) / g #

Do đó, sự dịch chuyển ngang trong thời gian của chuyến bay, tức là phạm vi được đưa ra bởi

# R = ucosthetaxxT = ucosthetaxx (2usintheta) / g = (u ^ 2sin2theta) / g #

# => R = (2u ^ 2tantheta) / (g (1 + tan ^ 2theta)) #

# => R = (2u ^ 2tantheta) / (gsec ^ 2theta) #

# => màu (xanh dương) ((gsec ^ 2theta) / (2u ^ 2) = tantheta / R …… 4) #

Kết hợp 3 và 4 chúng ta có được

# y / x = tantheta-1/2 xx (gx) / u ^ 2xxsec ^ 2theta #

# => y / x = tantheta- (xtantheta) / R #

# => tanalpha = tantheta- (xtantheta) / R # kể từ khi # màu (đỏ) (y / x = tanalpha) # từ hình

Vì thế # tantheta = tanalphaxx (R / (R-x)) #

# => tantheta = tanalphaxx ((R-x + x) / (R-x)) #

# => tantheta = tanalphaxx (1 + x / (R-x)) #

# => tantheta = tanalpha + (xtanalpha) / (R-x) #

# => tantheta = tanalpha + y / (R-x) # đặt # màu (đỏ) (xtanalpha = y) #

Cuối cùng, chúng ta có từ hình # màu (đỏ tươi) (y / (R-x) = tanbeta) #

Do đó, chúng tôi nhận được mối quan hệ cần thiết của chúng tôi

# màu (xanh) (tantheta = tanalpha + tanbeta) #