Tam giác A có diện tích 9 và hai cạnh dài 6 và 9. Tam giác B tương tự tam giác A và có cạnh dài 12. Các diện tích tối đa và tối thiểu có thể có của tam giác B là gì?

Câu trả lời:

Tối thiểu # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} khoảng 5.922584784 … #

Tối đa # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} khoảng 85.39448839 … #

Giải trình:

Được:

# Khu vực _ { tam giác} = 9 #

Chiều dài bên của # tam giác # là #XYZ #

# X = 6, Y = 9 #

Chiều dài bên của # tam giác # là # U, V, W #

#U = 12 #

# tam giác A text {tương tự} tam giác B #

giải quyết đầu tiên cho # Z #:

sử dụng công thức của Heron: # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # Ở đâu # S = frac {A + B + C} {2} #, phụ trong khu vực 9, và các bước sóng 6 và 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

# 9 = sqrt {(frac {15 + Z} {2}) (frac {Z + 3} {2}) (frac {Z - 3} {2}) (frac {15 - z} { 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

Để cho # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

sử dụng công thức bậc hai

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # Từ chối các giải pháp tiêu cực như # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Như vậy # Z khoảng 3,895718613 # và # 14.79267983 # tương ứng

# vì tam giác A văn bản {tương tự} tam giác B, Khu vực _ { tam giác B} = k ^ 2 * Khu vực _ { tam giácA} # Ở đâu # k # là yếu tố thay đổi kích thước

# k = 12 / s # nơi sắp xếp theo thứ tự tăng dần: #s in {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} #

hoặc ở dạng thập phân: #s trong {3.895718613, 6, 9,14,79267983} #

Giá trị của #S#, Diện tích càng nhỏ và giá trị của #S#, diện tích càng lớn,

Do đó, để giảm thiểu diện tích chọn # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

và để tối đa hóa khu vực chọn # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Như vậy, diện tích tối thiểu # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} khoảng 5.922584784 … #

và diện tích tối đa # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} khoảng 85.39448839 … #