Sự khác biệt giữa Định lý giá trị trung gian và Định lý giá trị cực trị là gì?

Câu trả lời:

Định lý giá trị trung gian (IVT) cho biết các hàm liên tục trên một khoảng # a, b # đảm nhận tất cả các giá trị (trung gian) giữa các thái cực của chúng. Định lý giá trị cực trị (EVT) cho biết các hàm liên tục bật # a, b # đạt được các giá trị cực đoan của họ (cao và thấp).

Giải trình:

Đây là một tuyên bố của EVT: Hãy # f # được liên tục trên # a, b #. Sau đó tồn tại số # c, d in a, b # như vậy mà #f (c) leq f (x) leq f (d) # cho tất cả #x trong a, b #. Nói cách khác, "supremum" # M # và "tối ưu" # m # của phạm vi # {f (x): x trong a, b } # tồn tại (chúng là hữu hạn) và tồn tại số # c, d in a, b # như vậy mà #f (c) = m # và #f (d) = M #.

Lưu ý rằng chức năng # f # phải liên tục # a, b # cho kết luận để giữ. Ví dụ, nếu # f # là một chức năng sao cho #f (0) = 0,5 #, #f (x) = x # cho #0<>và #f (1) = 0,5 #, sau đó # f # không đạt được giá trị tối đa hoặc tối thiểu #0,1#. (Supremum và infimum của phạm vi tồn tại (lần lượt là 1 và 0), nhưng hàm không bao giờ đạt được (không bao giờ bằng) các giá trị này.)

Cũng lưu ý rằng khoảng thời gian phải được đóng lại. Chức năng #f (x) = x # không đạt được giá trị tối đa hoặc tối thiểu trong khoảng thời gian mở #(0,1)#. (Một lần nữa, tối cao và tối thiểu của phạm vi tồn tại (lần lượt là 1 và 0), nhưng hàm không bao giờ đạt được (không bao giờ bằng) các giá trị này.)

Chức năng #f (x) = 1 / x # cũng không đạt được giá trị tối đa hoặc tối thiểu trong khoảng thời gian mở #(0,1)#. Hơn nữa, tối cao của phạm vi thậm chí không tồn tại như một số hữu hạn (đó là "vô hạn").

Đây là một tuyên bố của IVT: Hãy # f # được liên tục trên # a, b # và giả sử #f (a)! = f (b) #. Nếu # v # là bất kỳ số nào giữa #f (a) # và #f (b) #, sau đó tồn tại một số #c in (a, b) # như vậy mà #f (c) = v #. Hơn nữa, nếu # v # là một số giữa tối cao và tối thiểu của phạm vi # {f (x): x in a, b} #, sau đó tồn tại một số #c trong a, b # như vậy mà #f (c) = v #.

Nếu bạn vẽ hình ảnh của các chức năng không liên tục khác nhau, thì rõ ràng tại sao # f # cần phải liên tục để IVT là đúng.