Căn bậc ba của (sqrt3 -i) là gì?

Tôi sẽ bắt đầu bằng cách chuyển đổi số thành dạng lượng giác:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

Các khối lập phương của số này có thể được viết là:

# z ^ (1/3) #

Bây giờ với ý nghĩ này, tôi sử dụng công thức cho lũy thừa thứ n của một số phức dưới dạng lượng giác:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # cho:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

Mà trong hình chữ nhật là: # 4.2-0.7i #

Tôi không thể hoàn toàn đồng ý với câu trả lời của Gió, vì nó không đầy đủ và cũng (chính thức) sai.

Lỗi chính thức là trong việc sử dụng Công thức của De Moivre với số mũ không nguyên. Công thức của De Moivre chỉ có thể được áp dụng cho số mũ nguyên. Thêm chi tiết về điều này trên trang Wikipedia

Ở đó bạn sẽ tìm thấy một phần mở rộng của công thức, để đối phó với # n #-th rễ (nó liên quan đến một tham số phụ # k #): nếu # z = r (cos theta + i sin theta) #, sau đó

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # Ở đâu # k = 0, …, n-1 #.

Một (và trong một số ý nghĩa các) tính chất rất cơ bản của số phức là # n #- rễ có … # n # rễ (giải pháp)! Thông số # k # (khác nhau giữa #0# và # n-1 #, vì thế # n # giá trị) cho phép chúng tôi tóm tắt chúng trong một công thức duy nhất.

Vì vậy, rễ khối có ba giải pháp và chỉ tìm một trong số đó là không đủ: chỉ là "#1/3# của giải pháp ".

Tôi sẽ viết đề xuất giải pháp của tôi dưới đây. Bình luận được chào đón!

Như gợi ý chính xác, bước đầu tiên là thể hiện # z = sqrt {3} -i # ở dạng lượng giác của nó #r (cos theta + i sin theta) #. Khi xử lý các gốc, dạng lượng giác là (gần như) luôn là một công cụ hữu ích (cùng với dạng hàm mũ). Bạn lấy:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Vì thế # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Bây giờ bạn muốn tính toán rễ. Theo công thức được báo cáo ở trên, chúng tôi nhận được:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

Ở đâu # k = 0, 1, 2 #. Vì vậy, có ba giá trị khác nhau của # k # (#0#, #1# và #2#) sinh ra ba gốc phức tạp khác nhau của # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # và # z_2 # là ba giải pháp.

Giải thích hình học của công thức cho # n # rễ rất hữu ích để vẽ các giải pháp trong mặt phẳng phức. Ngoài ra cốt truyện chỉ ra rất độc đáo các thuộc tính của công thức.

Trước hết, chúng ta có thể nhận thấy rằng tất cả các giải pháp có cùng khoảng cách # r ^ {1 / n} # (trong ví dụ của chúng tôi #2^{1/3}#) từ nguồn gốc. Vì vậy, tất cả chúng nằm trên một chu vi bán kính # r ^ {1 / n} #. Bây giờ chúng ta phải chỉ ra Ở đâu để đặt chúng trên chu vi này. Chúng ta có thể viết lại các đối số của sin và cos theo cách sau:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (vũ (

Rễ "đầu tiên" tương ứng với # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Tất cả các gốc khác có thể thu được từ điều này bằng cách thêm góc # (2pi) / n # đệ quy theo góc # theta / n # liên quan đến gốc đầu tiên # z_0 #. Vì vậy, chúng tôi đang di chuyển # z_0 # trên chu vi bằng một vòng quay của # (2pi) / n # radian (# (360 °) / n #). Vì vậy, các điểm được đặt trên các đỉnh của một thông thường # n #đường chéo. Cho một trong số họ, chúng ta có thể tìm thấy những người khác.

Trong trường hợp của chúng ta:

góc màu xanh ở đâu # theta / n = -pi / 18 # và màu đỏ tươi là # (2pi) / n = 2/3 pi #.