Câu trả lời:
Trung tâm: #(2,-1)#
Đỉnh: # (2, 1/2) và (2, -5 / 2) #
Đồng trục # (1, -1) và (3, -1) #
Tiêu điểm: # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) và (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Độ lệch tâm: #sqrt (5) / 3 #
Giải trình:
Kỹ thuật chúng tôi muốn sử dụng được gọi là hoàn thành hình vuông. Chúng ta sẽ sử dụng nó trên # x # điều khoản đầu tiên và sau đó # y #.
Sắp xếp lại để
# 9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31 #
Tập trung vào # x #, chia cho # x ^ 2 # hệ số và thêm bình phương của một nửa hệ số của # x ^ 1 # hạn cho cả hai bên:
# x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y + (- 2) ^ 2 = -31/9 + (-2) ^ 2 #
# (x-2) ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8/9y = 5/9 #
Chia cho # y ^ 2 # hệ số và thêm bình phương của một nửa hệ số # y ^ 1 # hạn cho cả hai bên:
# 9/4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 + 2y + (1) ^ 2 = 5/4 + (1) ^ 2 #
# 9/4 (x-2) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 9/4 #
Chia cho #9/4# để đơn giản hóa:
# (x-2) ^ 2 + 4/9 (y + 1) ^ 2 = 1 #
# (x-2) ^ 2/1 + ((y + 1) ^ 2) / (9/4) = 1 #
Phương trình tổng quát là
# (x-a) ^ 2 / h ^ 2 + (y-b) ^ 2 / k ^ 2 = 1 #
Ở đâu # (a, b) # là trung tâm và #HK# là trục bán nhỏ / trục chính.
Đọc ra khỏi trung tâm cho #(2, -1)#.
Trong trường hợp này, # y # hướng có giá trị lớn hơn # x #, do đó, hình elip sẽ được kéo dài trong # y # phương hướng. # k ^ 2> h ^ 2 #
Các đỉnh có được bằng cách di chuyển lên trục chính từ tâm. I E # + - sqrt (k) # thêm vào tọa độ y của trung tâm.
Điều này mang lại # (2, 1/2) và (2, -5/2) #.
Các đỉnh đồng nằm trên trục nhỏ. Chúng tôi thêm # + - sqrt (h) # đến tọa độ x của centre để tìm những thứ này.
# (1, -1) và (3, -1) #
Bây giờ, để tìm các tiêu điểm:
# c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2 #
# c ^ 2 = 9/4 - 1 #
# c ^ 2 = 5/4 ngụ ý c = + -sqrt (5) / 2 #
Foci sẽ được đặt dọc theo dòng #x = 2 # tại # + - sqrt (5) / 2 # từ #y = -1 #.
#vì thế# tập trung tại # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) và (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Cuối cùng, độ lệch tâm được tìm thấy bằng cách sử dụng
# e = sqrt (1-h ^ 2 / k ^ 2) #
# e = sqrt (1-1 / (9/4)) = sqrt (1-4 / 9) = sqrt (5) / 3 #
