Đặt vec (x) là một vectơ, sao cho vec (x) = (1, 1), "và cho" R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], đó là Xoay Nhà điều hành. Để theta = 3 / 4pi tìm vec (y) = R (theta) vec (x)? Tạo một bản phác thảo cho thấy x, y và θ?

Điều này hóa ra là một vòng quay ngược chiều kim đồng hồ. Bạn có thể đoán bao nhiêu độ?

Để cho #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # là một phép biến đổi tuyến tính, trong đó

#T (vecx) = R (theta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

Lưu ý rằng sự chuyển đổi này được thể hiện dưới dạng ma trận biến đổi #R (theta) #.

Nó có nghĩa là gì # R # là ma trận xoay đại diện cho phép biến đổi quay, chúng ta có thể nhân lên # R # bởi # vecx # để thực hiện sự chuyển đổi này.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >> #

Cho một # MxxK # và # KxxN # ma trận, kết quả là một # màu (xanh) (MxxN) # ma trận, ở đâu # M # là hàng kích thước và # N # là cột kích thước. Đó là:

# (y_ (11), y_ (12),.., Y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22),.., Y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (y_ (m1), y_ (m2),.., y_ (mn)) #

# = (R_ (11), R_ (12),.., R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22),.., R_ (2k)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (R_ (m1), R_ (m2),.., R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12),.., x_ (1n)), (x_ (21), x_ (22),.., x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2),.., x_ (kn)) #

Do đó, cho một # 2xx2 # ma trận nhân với một # 1xx2 #, chúng ta phải hoán chuyển vectơ để có được một # 2xx1 # cột vector, cho chúng ta một câu trả lời đó là một # mathbf (2xx1) # cột vector.

Nhân hai số này cho:

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1), (1) #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

Tiếp theo, chúng ta có thể cắm vào #theta = (3pi) / 4 # (mà tôi giả sử là góc chính xác) để có được:

#color (màu xanh) (T (vecx) = R (theta) vecx) #

# = R (theta) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4)) #

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2)) #

# = màu (màu xanh) ((0), (- sqrt2)) #

Bây giờ, hãy vẽ biểu đồ này để xem nó trông như thế nào. Tôi có thể nói rằng đó là một xoay ngược chiều kim đồng, sau khi xác định vectơ biến đổi.

Thật vậy, một vòng quay ngược chiều kim đồng hồ bởi #135^@#.

THỬ THÁCH: Có lẽ bạn có thể xem xét những gì xảy ra khi ma trận # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # thay thế. Bạn có nghĩ rằng nó sẽ theo chiều kim đồng hồ?