Câu hỏi số 059f6

Câu trả lời:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Giải trình:

Sự phát triển của Taylor # f # tại # a # Là #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Hãy nhớ rằng đó là một chuỗi sức mạnh để nó không nhất thiết phải hội tụ # f # hoặc thậm chí hội tụ ở một nơi khác ngoài # x = a #.

Trước tiên chúng ta cần các dẫn xuất của # f # nếu chúng ta muốn thử viết một công thức thực sự của loạt Taylor.

Sau khi tính toán và một bằng chứng cảm ứng, chúng ta có thể nói rằng #AAk trong NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # và #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Vì vậy, sau một số đơn giản hóa nhỏ và thô, có vẻ như loạt Taylor # f # Là #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k +1) #.