Giá trị tối thiểu của g (x) = x / csc (pi * x) trên khoảng [0,1] là bao nhiêu?

Câu trả lời:

Có một giá trị tối thiểu là #0# nằm cả hai tại # x = 0 # và # x = 1 #.

Giải trình:

Đầu tiên, chúng ta có thể viết ngay hàm này là

#g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Nhớ lại rằng #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Bây giờ, để tìm các giá trị tối thiểu trên một khoảng, hãy nhận ra rằng chúng có thể xảy ra ở điểm cuối của khoảng hoặc tại bất kỳ giá trị quan trọng nào xảy ra trong khoảng.

Để tìm các giá trị tới hạn trong khoảng, đặt đạo hàm của hàm bằng #0#.

Và, để phân biệt chức năng, chúng ta sẽ phải sử dụng quy tắc nhân. Áp dụng quy tắc sản phẩm cho chúng ta

#g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Mỗi dẫn xuất này cho:

# d / dx (x) = 1 #

Và, thông qua quy tắc chuỗi:

# d / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Kết hợp những điều này, chúng ta thấy rằng

#g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Do đó, các giá trị quan trọng sẽ xảy ra bất cứ khi nào

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Chúng ta không thể giải quyết đại số này, vì vậy hãy sử dụng máy tính để tìm tất cả các số không của hàm này trong khoảng đã cho #0,1#:

đồ thị {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Hai giá trị tới hạn trong khoảng là # x = 0 # và # xapprox0.6485 #.

Vì vậy, chúng tôi biết rằng giá trị tối thiểu của #g (x) # có thể xảy ra tại #3# Những nơi khác nhau:

• # x = 0 # hoặc là # x = 1 #, các điểm cuối của khoảng
• # x = 0 # hoặc là # x = 0,6485 #, các giá trị tới hạn trong khoảng

Bây giờ, cắm từng giá trị có thể vào khoảng:

# {(g (0) = 0, màu (đỏ) văn bản (tối thiểu)), (g (0.6485) = 0.5792, văn bản màu (xanh) (tối đa)), (g (1) = 0, màu (đỏ) văn bản (tối thiểu)):} #

Vì có hai giá trị thấp bằng nhau, có cực tiểu cả hai tại # x = 0 # và # x = 1 #. Lưu ý rằng mặc dù chúng tôi đã trải qua việc tìm kiếm rắc rối của # x = 0,6485 #, nó thậm chí không phải là tối thiểu.

Vẽ đồ thị là #g (x) # vào khoảng #0,1#:

đồ thị {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Ngoài ra, lưu ý rằng giá trị tối thiểu là #0#, kể từ #g (0) = g (1) = 0 #. Sự khác biệt là # x = 0 # và # x = 1 # là các vị trí của cực tiểu.