Làm thế nào để bạn tìm thấy đa thức Taylor bậc ba cho f (x) = ln x, tập trung tại a = 2?

Câu trả lời:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Giải trình:

Hình thức chung của bản mở rộng Taylor tập trung tại # a # của một chức năng phân tích # f # Là #f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. Đây #f ^ ((n)) # là đạo hàm thứ n của # f #.

Đa thức Taylor bậc ba là một đa thức bao gồm bốn đa thức thứ nhất (# n # khác nhau từ #0# đến #3#) điều khoản của việc mở rộng Taylor đầy đủ.

Do đó đa thức này là #f (a) + f '(a) (x-a) + (f' '(a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (x-a) ^ 3 #.

#f (x) = ln (x) #, vì thế #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Vì vậy, đa thức Taylor bậc ba là:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Bây giờ chúng tôi có # a = 2 #, vì vậy chúng ta có đa thức:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.