Đánh giá tích phân không xác định: sqrt (10 x x ^ 2) dx?

Câu trả lời:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Giải trình:

#int "" sqrt (10 x-x ^ 2) "" dx #

Hoàn thành hình vuông, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Thay thế # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Thay thế # u = 5sin (v) # và # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25 giây ^ 2 (v)) "" dv #

Đơn giản hóa, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Lọc, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Lấy ra liên tục, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Áp dụng công thức góc kép, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Lấy ra liên tục, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Tích hợp, # 25/2 (v + 1/2 giây (2v)) "+ c #

Thay thế trở lại # v = arcsin (u / 5) # và # u = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + hủy (1 / 2sin) (hủy (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

Đơn giản hóa, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Lọc, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, Ở đâu # c # là hằng số tích hợp.

Tadaa: D

Câu trả lời:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Giải trình:

Những gì là #int sqrt (10 x - 2 ^ 2) dx # ?

Lưu ý rằng miền của hàm được tích hợp là nơi mà phương trình bậc hai bên trong là dương, tức là #x trong 0, 10 #

Biểu thức này có thể được tích hợp bằng cách sử dụng thay thế. Mặc dù một con đường khả dĩ cho sự tích hợp không xuất hiện ngay lập tức, nhưng nếu chúng ta cạnh tranh với hình vuông, thì có thể thực hiện thay thế lượng giác:

# 10 - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Mà chúng tôi nhận thấy là ở dạng thay thế lượng giác cổ điển, tức là bình phương của một số trừ đi bình phương của một tuyến tính # x # chức năng.

Đầu tiên, để thoát khỏi tuyến tính, chúng ta hãy để #u = x-5 #, mà cho # du = dx #, vì vậy chúng ta có thể viết lại tích phân trên như sau:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Bây giờ cho sự thay thế thứ hai, hãy #u = 5sintheta #, thay đổi tích phân thành:

#int sqrt (25 - 25 giây ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (chúng ta có thể bỏ qua dấu ngoặc giá trị tuyệt đối)

Dĩ nhiên # dx # không giúp được gì, vì vậy chúng tôi phân biệt phương trình thay thế để có được: #du = 5costheta d theta #, vì vậy tích phân trở thành:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng một công thức góc kép để tích hợp # cos ^ 2 theta # dễ dàng hơn

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Vì vậy, tích phân trở thành:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1/2 giây (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (sử dụng công thức hai góc)

Hiện nay, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Vì thế, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

Và, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10 x - 2 ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #