Bản mở rộng Taylor của e ^ (- 2x) có tâm ở x = 0 là gì?

Câu trả lời:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Giải trình:

Trường hợp của một loạt taylor mở rộng xung quanh #0# được gọi là một loạt Maclaurin. Công thức chung cho một loạt Maclaurin là:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Để tạo ra một chuỗi cho chức năng của chúng ta, chúng ta có thể bắt đầu với một chức năng cho # e ^ x # và sau đó sử dụng nó để tìm ra một công thức cho #e ^ (- 2x) #.

Để xây dựng chuỗi Maclaurin, chúng ta cần tìm ra đạo hàm thứ n của # e ^ x #. Nếu chúng ta lấy một vài dẫn xuất, chúng ta có thể nhanh chóng thấy một mẫu:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

Trong thực tế, đạo hàm thứ n của # e ^ x # Chỉ là # e ^ x #. Chúng ta có thể cắm công thức này vào công thức Maclaurin:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) x ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) … #

Bây giờ chúng tôi có một loạt taylor cho # e ^ x #, chúng tôi chỉ có thể thay thế tất cả # x #với # -2x # để có được một loạt cho #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

đó là loạt chúng tôi đang tìm kiếm.