Giới hạn của một chuỗi vô hạn có nghĩa là gì?

Giới hạn của một chuỗi vô hạn cho chúng ta biết về hành vi lâu dài của nó.

Cho một dãy số thực # a_n #, nó giới hạn #lim_ (n đến oo) a_n = lim a_n # được định nghĩa là giá trị đơn mà chuỗi tiếp cận (nếu nó tiếp cận bất kỳ giá trị nào) khi chúng ta tạo chỉ mục # n # lớn hơn Giới hạn của một chuỗi không phải lúc nào cũng tồn tại. Nếu có, trình tự được gọi là hội tụ, nếu không thì nói là khác nhau.

Hai ví dụ đơn giản:

• Xem xét trình tự # 1 / n #. Thật dễ dàng để thấy rằng giới hạn của nó là #0#. Trong thực tế, với bất kỳ giá trị tích cực gần với #0#, chúng ta luôn có thể tìm thấy một giá trị đủ lớn # n # như vậy mà # 1 / n # nhỏ hơn giá trị đã cho này, có nghĩa là giới hạn của nó phải nhỏ hơn hoặc bằng 0. Ngoài ra, mọi số hạng của chuỗi lớn hơn 0, do đó giới hạn của nó phải lớn hơn hoặc bằng 0. Vì vậy nó là #0#.

• Lấy chuỗi không đổi #1#. Đó là, cho bất kỳ giá trị nhất định của # n #, thuật ngữ # a_n # của chuỗi bằng #1#. Rõ ràng là cho dù chúng ta làm lớn đến đâu # n # giá trị của chuỗi là #1#. Vì vậy, giới hạn của nó là #1#.

Đối với một định nghĩa nghiêm ngặt hơn, hãy để # a_n # là một chuỗi các số thực (có nghĩa là, #forall n trong NN: a_n in RR #) và #epsilon trong RR #. Sau đó là số # a # được cho là giới hạn của trình tự # a_n # nếu và chỉ nếu:

#forall epsilon> 0 tồn tại N trong NN: n> N => | a_n - a | <epsilon #

Định nghĩa này tương đương với định nghĩa không chính thức được đưa ra ở trên, ngoại trừ việc chúng ta không cần áp đặt sự thống nhất cho giới hạn (có thể suy ra).