Tìm các giá trị của x mà chuỗi nào sau đây hội tụ?

Câu trả lời:

#1<>

Giải trình:

Khi cố gắng xác định bán kính và / hoặc khoảng thời gian hội tụ của chuỗi lũy thừa như thế này, tốt nhất là sử dụng Kiểm tra tỷ lệ, cho chúng ta biết một chuỗi # suma_n #, chúng tôi để

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Nếu #L <1 # chuỗi hoàn toàn hội tụ (và do đó hội tụ)

Nếu #L> 1 #, loạt phân kỳ.

Nếu # L = 1, # Kiểm tra tỷ lệ là không kết luận.

Tuy nhiên, đối với Power Series, có thể có ba trường hợp

a. Chuỗi sức mạnh hội tụ cho tất cả các số thực; khoảng hội tụ của nó là # (- oo, oo) #

b. Chuỗi sức mạnh hội tụ cho một số # x = a; # bán kính hội tụ của nó bằng không.

c. Trường hợp thường xuyên nhất, chuỗi sức mạnh hội tụ cho # | x-a |<> với một khoảng hội tụ của # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Vì vậy nếu # | 2x-3 | <1 #, chuỗi hội tụ. Nhưng chúng ta cần điều này trong mẫu # | x-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # kết quả hội tụ. Bán kính hội tụ là # R = 1 / 2. #

Bây giờ, hãy xác định khoảng:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Chúng ta cần cắm # x = 1, x = 2 # vào chuỗi ban đầu để xem liệu chúng ta có hội tụ hoặc phân kỳ tại các điểm cuối này không.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # phân kỳ, triệu hồi không có giới hạn và chắc chắn không về không, nó chỉ là dấu hiệu thay thế.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # cũng phân kỳ bằng Thử nghiệm phân kỳ, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Do đó, loạt hội tụ cho #1<>

Chúng ta có thể sử dụng kiểm tra tỷ lệ nói rằng nếu chúng ta có một loạt

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

nó chắc chắn hội tụ nếu:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

Trong trường hợp của chúng ta, # a_n = (2x-3) ^ n #, vì vậy chúng tôi kiểm tra giới hạn:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) hủy ((2x-3)) ^ n)) / hủy ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Vì vậy, chúng ta cần kiểm tra khi # | 2x-3 | # ít hơn #1#:

Tôi đã mắc một lỗi ở đây, nhưng câu trả lời ở trên có cùng một phương pháp và một câu trả lời đúng, vì vậy chỉ cần nhìn vào đó để thay thế.