Đạo hàm của y = (sinx) ^ x là gì?

Câu trả lời:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Giải trình:

Sử dụng phân biệt logarit.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Sử dụng thuộc tính của # ln #)

Phân biệt ngầm: (Sử dụng quy tắc sản phẩm và chuỗi độc ác)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Vì vậy chúng tôi có:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Giải quyết cho # dy / dx # nhân với #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Câu trả lời:

# d / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Giải trình:

Cách dễ nhất để thấy điều này là sử dụng:

# (sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (xln (sinx)) #

Lấy đạo hàm của điều này cho:

# d / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) #

# = (ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Bây giờ chúng ta phải lưu ý rằng nếu # (sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # không định nghĩa được.

Tuy nhiên, khi chúng tôi phân tích hành vi của chức năng xung quanh # x #Chúng tôi thấy rằng hàm này hoạt động đủ tốt để nó hoạt động, bởi vì, nếu:

# (sinx) ^ x # tiếp cận 0

sau đó:

#ln ((sinx) ^ x) # Sẽ tiếp cận # -oo #

vì thế:

# e ^ (ln ((sinx) ^ x)) # cũng sẽ tiếp cận 0

Hơn nữa, chúng tôi lưu ý rằng nếu #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # sẽ là một số phức; tuy nhiên, tất cả các đại số và tính toán mà chúng tôi đã sử dụng làm việc trong mặt phẳng phức tạp, vì vậy đây không phải là một vấn đề.

Câu trả lời:

Nói chung là …

Giải trình:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #