Xin hãy giúp giải quyết điều này, tôi không thể đưa ra một giải pháp. Câu hỏi là tìm f? Cho f: (0, + oo) -> RR với f (x / e) <= lnx <= f (x) -1, x in (0, + oo)

Câu trả lời:

#f (x) = lnx + 1 #

Giải trình:

Chúng tôi chia bất đẳng thức thành 2 phần:

#f (x) -1> = lnx # #-># (1)

#f (x / e) <= lnx ##-># (2)

Hãy xem (1):

Chúng tôi sắp xếp lại để có được #f (x)> = lnx + 1 #

Hãy nhìn vào (2):

Chúng tôi giả sử # y = x / e # và # x = anh #. Chúng tôi vẫn đáp ứng điều kiện #y trong (0, + oo) #.#f (x / e) <= lnx #

#f (y) <= lnye #

#f (y) <= lny + lne #

#f (y) <= lny + 1 #

#y inx # vì thế #f (y) = f (x) #.

Từ 2 kết quả, #f (x) = lnx + 1 #

Câu trả lời:

Giả sử một hình thức sau đó sử dụng giới hạn.

Giải trình:

Dựa trên thực tế mà chúng ta thấy rằng f (x) giới hạn ln (x), chúng ta có thể giả sử rằng hàm là một dạng của ln (x). Hãy giả sử một hình thức chung:

#f (x) = Aln (x) + b #

Cắm trong các điều kiện, điều này có nghĩa là

#Aln (x / e) + b le lnx le Aln (x) + b - 1 #

#Aln (x) - A + b le ln x le A ln x + b - 1 #

Chúng ta có thể trừ #Aln (x) + b # từ toàn bộ phương trình để tìm

# - A le (1-A) ln x - b le - 1 #

Lật,

# 1 le (A-1) lnx + b le A #

Nếu chúng ta muốn điều này đúng với mọi x, chúng ta thấy rằng giới hạn trên là một hằng số và #ln (x) # không bị ràng buộc, thuật ngữ đó rõ ràng phải là 0. Do đó, A = 1, để lại cho chúng tôi

# 1 le b le 1 ngụ ý b = 1 #

Vì vậy, chúng tôi chỉ có giải pháp với #A = b = 1 #:

#f (x) = ln (x) + 1 #