Xin hãy giúp tôi trong việc này, làm thế nào để làm điều đó?

Câu trả lời:

#k = 3 #

Giải trình:

Sử dụng các thuộc tính của số mũ mà # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # và # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, chúng ta có

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Như vậy #13!# chia hết cho # 24 ^ k # nếu và chỉ nếu #13!# chia hết cho # 2 ^ (3k) # và chia hết cho # 3 ^ k #.

Chúng ta có thể nói sức mạnh lớn nhất của #2# bằng cách đó #13!# chia hết cho nếu chúng ta nhìn vào các yếu tố của nó chia hết cho #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Vì không có yếu tố lẻ nào đóng góp bất kỳ yếu tố nào của #2#, chúng ta có

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

Ở đâu # m # là một số nguyên không chia hết cho #2#. Như vậy, chúng ta biết rằng #13!# chia hết cho # 2 ^ (3k) # nếu và chỉ nếu #2^10# chia hết cho # 2 ^ (3k) #, Ý nghĩa # 3k <= 10 #. Như # k # là một số nguyên, điều này có nghĩa là #k <= 3 #.

Tiếp theo, chúng ta có thể xem xét các yếu tố của #13!# chia hết cho #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Như không có yếu tố nào khác của #13!# đóng góp bất kỳ yếu tố nào của #3#, điều này có nghĩa là

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

Ở đâu # n # là một số nguyên không chia hết cho #3#. Như vậy, chúng ta biết rằng #3^5# chia hết cho # 3 ^ k #, Ý nghĩa #k <= 5 #.

Số nguyên không âm lớn nhất thỏa mãn các ràng buộc #k <= 3 # và #k <= 5 # Là #3#, cho chúng tôi câu trả lời của chúng tôi về # k = 3 #.

Một máy tính sẽ xác minh rằng #(13!)/24^3 = 450450#, trong khi #(13!)/24^4=18768.75#