Làm thế nào để bạn đánh giá tích phân của int (dt) / (t-4) ^ 2 từ 1 đến 5?

Câu trả lời:

Thay thế # x = t-4 #

Trả lời là, nếu bạn thực sự được yêu cầu chỉ tìm tích phân:

#-4/3#

Nếu bạn tìm kiếm khu vực, nó không đơn giản.

Giải trình:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Bộ:

# t-4 = x #

Do đó, sự khác biệt:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

Và các giới hạn:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Bây giờ thay thế ba giá trị được tìm thấy:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

CHÚ THÍCH: ĐỪNG ĐỌC NÀY NẾU BẠN KHÔNG CÓ CÁCH NÀO ĐỂ TÌM RA KHU VỰC. Mặc dù điều này thực sự nên đại diện cho khu vực giữa hai giới hạn và vì nó luôn luôn tích cực, nên nó đã có giá trị dương. Tuy nhiên, chức năng này là không liên tục tại # x = 4 # vì vậy tích phân này không đại diện cho khu vực, nếu đó là những gì bạn muốn. Nó phức tạp hơn một chút.

Câu trả lời:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Giải trình:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Câu trả lời:

Tùy thuộc vào mức độ tích hợp mà bạn đã học, câu trả lời "tốt nhất" sẽ là: "tích phân chưa được xác định" (chưa) hoặc là "các phân kỳ tích phân"

Giải trình:

Khi chúng ta cố gắng đánh giá # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, chúng ta nên kiểm tra rằng integrand được xác định trên khoảng thời gian mà chúng ta đang tích hợp.

# 1 / (x-4) ^ 2 # không được xác định tại #4#, nên nó là không phải được xác định trên toàn bộ khoảng #1,5#.

Đầu năm học tính toán, chúng tôi xác định tích phân bằng cách bắt đầu với

"Để cho # f # được xác định trên khoảng # a, b #… '

Vì vậy, sớm trong nghiên cứu của chúng tôi, câu trả lời tốt nhất là

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# không được xác định (chưa?)

Sau này chúng tôi mở rộng định nghĩa đến cái được gọi là "tích phân không đúng"

Chúng bao gồm các tích phân trên các khoảng không giới hạn (# (- oo, b #, # a, oo) # và # (- oo, oo) #) và cũng là khoảng thời gian mà tích phân có các điểm không được xác định.

Để (thử) đánh giá # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, chúng tôi đánh giá hai tích phân không phù hợp # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Lưu ý rằng integrand vẫn chưa được xác định trên các đóng cửa khoảng thời gian.)

Phương pháp là thay thế điểm mà integrand không được xác định bởi một biến, sau đó lấy giới hạn khi biến đó tiếp cận số.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Trước tiên hãy tìm tích phân:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Tìm kiếm giới hạn như # brarr4 ^ - #, chúng tôi thấy rằng giới hạn không tồn tại. (Như # brarr4 ^ - #, giá trị của # -1 / (b-4) # tăng mà không bị ràng buộc.)

Do đó, tích phân trên #1,4# không tồn tại nên tích phân trên #1,5# không tồn tại.

Chúng tôi nói rằng các phân kỳ tích phân.

chú thích

Một số người sẽ nói: bây giờ chúng ta có một Định nghĩa của tích phân, không xảy ra bất kỳ số nào thỏa mãn định nghĩa.