Câu trả lời:
# -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Giải trình:
Bắt đầu bằng cách sử dụng quy tắc tổng cho các tích phân và tách chúng thành hai tích phân riêng biệt:
# intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
Đầu tiên của các tích phân nhỏ này được giải quyết bằng cách sử dụng tích hợp bởi các bộ phận:
Để cho # u = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# dv = e ^ (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) #
Bây giờ sử dụng tích hợp theo công thức bộ phận # intudv = uv-intvdu #, chúng ta có:
# intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
Thứ hai trong số này là một trường hợp của quy tắc công suất ngược, trong đó nêu rõ:
# intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Vì thế # int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Vì thế, # intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (nhớ thêm hằng số tích hợp!)
Chúng tôi được đưa ra điều kiện ban đầu #f (0) = 1 #, vì thế:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Thực hiện thay thế cuối cùng này, chúng tôi có được giải pháp cuối cùng của chúng tôi:
# intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
