Một giải pháp cụ thể cho phương trình vi phân (du) / dt = (2t + giây ^ 2t) / (2u) và u (0) = - 5 là gì?

Câu trả lời:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 #

Giải trình:

# (du) / dt = (2t + giây ^ 2t) / (2u) #

# 2u (du) / dt = 2t + giây ^ 2t #

#int du qquad 2 u = int dt qquad 2t + giây ^ 2t #

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + C #

áp dụng IV

# (- 5) ^ 2 = 2 (0) + tan (0) + C #

# hình ảnh C = 25 #

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 #

Câu trả lời:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tant + 25 #

Giải trình:

Bắt đầu bằng cách nhân cả hai bên # 2u # và # dt # để tách phương trình vi phân:

# 2udu = 2t + giây ^ 2tdt #

Bây giờ tích hợp:

# int2udu = int2t + giây ^ 2tdt #

Những tích hợp này không quá phức tạp, nhưng nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về chúng, đừng ngại hỏi. Họ đánh giá:

# u ^ 2 + C = t ^ 2 + C + tan t + C #

Chúng ta có thể kết hợp tất cả # C #s để tạo một hằng số chung:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tant + C #

Chúng tôi được đưa ra điều kiện ban đầu #u (0) = - 5 # vì thế:

# (- 5) ^ 2 = (0) ^ 2 + tan (0) + C #

# 25 = C #

Do đó, giải pháp là # u ^ 2 = t ^ 2 + tant + 25 #

Câu trả lời:

#u (t) = -sqrt (t ^ 2 + tan (t) +25) #

Giải trình:

Nhóm các biến

# 2 u du = (2t + giây ^ 2 (t)) dt #

Tích hợp cả hai mặt

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan (t) + C #

#u (t) = pm sqrt (t ^ 2 + tan (t) + C) #

nhưng xem xét các điều kiện ban đầu

#u (0) = -sqrt (C) = -5-> C = 25 #

và cuối cùng

#u (t) = -sqrt (t ^ 2 + tan (t) +25) #