Làm thế nào để bạn giải quyết hệ thống x ^ 2 + y ^ 2 = 9 và x-3y = 3?

Câu trả lời:

Có hai giải pháp cho hệ thống này: các điểm #(3,0)# và #(-12/5, -9/5)#.

Giải trình:

Đây là một hệ thống thú vị của bài toán phương trình vì nó mang lại nhiều hơn một giải pháp cho mỗi biến.

Tại sao điều này xảy ra là một cái gì đó chúng ta có thể phân tích ngay bây giờ. Phương trình đầu tiên, là dạng chuẩn cho một đường tròn có bán kính #3#. Thứ hai là một phương trình hơi lộn xộn cho một dòng. Dọn dẹp, nó sẽ trông như thế này:

#y = 1/3 x - 1 #

Vì vậy, một cách tự nhiên nếu chúng ta xem xét rằng một giải pháp cho hệ thống này sẽ là một điểm mà đường thẳng và đường tròn giao nhau, chúng ta không nên ngạc nhiên khi biết rằng sẽ có hai giải pháp. Một khi dòng vào vòng tròn, và một khi nó rời đi. Xem biểu đồ này:

đồ thị {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Đầu tiên chúng ta bắt đầu bằng cách thao tác phương trình thứ hai:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Chúng ta có thể chèn trực tiếp vào phương trình đầu tiên để giải # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Rõ ràng phương trình này có hai giải pháp. Một cho #y = 0 # và một cái khác cho # 9 + 5y = 0 # nghĩa là #y = -9 / 5 #.

Bây giờ chúng ta có thể giải quyết cho # x # tại mỗi # y # các giá trị.

Nếu # y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Nếu #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Vì vậy, hai giải pháp của chúng tôi là các điểm: #(3,0)# và #(-12/5, -9/5)#. Nếu bạn nhìn lại biểu đồ, bạn có thể thấy rằng những điểm này rõ ràng tương ứng với hai điểm tại đó đường thẳng đi qua vòng tròn.