Làm thế nào để bạn tìm thấy sin (x / 2), cos (x / 2) và tan (x / 2) từ Cot (x) = 13 đã cho?

Câu trả lời:

Thực tế có bốn giá trị cho # x / 2 # trên vòng tròn đơn vị, do đó bốn giá trị cho mỗi hàm trig. Giá trị chính của nửa góc là xung quanh # 2.2 ^ tuần hoàn

#cos (1 / 2text {Arc} văn bản {cot} 13) = cos 2.2 ^ Circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} văn bản {cot} 13) = sin 2.2 ^ Circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2text {Arc} văn bản {cot} 13) = tan 2.2 ^ Circ = sqrt (170) - 13 #

Xin vui lòng xem giải thích cho những người khác.

Giải trình:

Trước tiên hãy nói về câu trả lời. Có hai góc trên vòng tròn đơn vị có cotangent là #13#. Một là xung quanh # 4,4 tuần hoànvà một điều nữa là cộng # 180 ^ tuần #, gọi nó đi # 184,4 ^ tuần #. Mỗi cái có hai nửa góc, một lần nữa cách nhau bởi # 180 ^ tuần hoàn Cái đầu tiên có một nửa góc # 2.2 ^ tuần # và # 182,2 ^ tuần hoàn, cái thứ hai có một nửa góc # 92,2 ^ tuần # và # 272,2 ^ tuần hoànVì vậy, có bốn góc thực sự trong câu hỏi, với các giá trị khác nhau nhưng có liên quan cho các hàm lượng giác của chúng.

Chúng tôi sẽ sử dụng các góc trên làm xấp xỉ để chúng tôi có tên cho chúng.

Các góc có cotangent là 13:

#text {Arc} văn bản {cot} 13 khoảng 4,4 ^ Circ #

# 180 ^ Circ + văn bản {Arc} văn bản {cot} 13 khoảng 184,4 ^ Circ #

Một nửa góc:

# 1/2 văn bản {Arc} văn bản {cot} 13 khoảng 2.2 ^ Circ #

# 1/2 (360 ^ Circ + văn bản {Arc} văn bản {cot} 13) khoảng 182,2 ^ Circ #

# 1/2 (180 ^ Circ + văn bản {Arc} văn bản {cot} 13) khoảng 92,2 ^ Circ #

# 1/2 (360 ^ Circ + 180 ^ Circ + text {Arc} text {cot} 13) khoảng 272.2 ^ Circ #

OK, công thức góc kép cho cosine là:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - tội ^ 2 a #

vì vậy các công thức nửa góc có liên quan là

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

Đó là tất cả sơ bộ. Hãy làm vấn đề.

Chúng ta sẽ làm một góc nhỏ trước, # 2.2 ^ tuần hoàn Chúng tôi thấy phần còn lại của họ chỉ là bội số của # 90 ^ tuần # ở trên đó, vì vậy chúng ta có thể nhận được các hàm lượng giác của chúng từ góc đầu tiên này.

Một cotangent 13 là một độ dốc của #1/13# do đó tương ứng với một tam giác vuông với đối diện #1#, liền kề #13# và thôi miên #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #

#cos (văn bản {Arc} văn bản {cot} 13) = cos 4.4 ^ Circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (văn bản {Arc} văn bản {cot} 13) = sin 4.4 ^ Circ = {1} / sqrt {170} #

Bây giờ chúng ta áp dụng các công thức nửa góc. Đối với góc độ tuổi teen của chúng tôi trong góc phần tư thứ nhất, chúng tôi chọn các dấu hiệu tích cực.

#cos (1 / 2text {Arc} văn bản {cot} 13) = cos 2.2 ^ Circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ Circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

Chúng ta có thể cố gắng đơn giản hóa và di chuyển các phân số bên ngoài căn bản, nhưng tôi sẽ để nó ở đây.

#sin (1 / 2text {Arc} văn bản {cot} 13) = sin 2.2 ^ Circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ Circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

Góc nửa tiếp tuyến là thương số của những cái đó, nhưng nó dễ sử dụng hơn

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

#tan (1 / 2text {Arc} văn bản {cot} 13) = tan 2.2 ^ Circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

OK, đó là tất cả các phần khó khăn, nhưng đừng quên các góc độ khác.

# cos 182.2 ^ Circ = - cos 2.2 ^ Circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ Circ = -sin 2.2 ^ Circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ Circ = tan 2.2 ^ Circ = sqrt (170) - 13 #

Bây giờ chúng ta có các góc còn lại, mà hoán đổi sin và cos, lật dấu hiệu. Chúng tôi sẽ không lặp lại các hình thức ngoại trừ tiếp tuyến.

# cos 92.2 ^ Circ = - sin 2.2 ^ Circ #

#sin 92.2 ^ Circ = cos 2.2 ^ Circ #

# tan 92,2 ^ Circ = -1 / {tan 2.2 ^ Circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ Circ = sin 2.2 ^ Circ #

#sin 272.2 ^ Circ = - cos 2.2 ^ Circ #

# tan 272,2 ^ Circ = tan 92,2 ^ Circ = -13 - sqrt (170) #

Phù.

Câu trả lời:

#color (màu chàm) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0.0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (đỏ thẫm) (tan (x / 2) = -26.0384, sin (x / 2) = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #

Giải trình:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0,0384, -26.0384 #

# csc ^ 2x = 1 + cũi ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cũ ^ 2 (x / 2) #

Nhưng wen biết #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

Khi nào #tan (x / 2) = 0,0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679.1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0,0384 / 0,0384 = + - 1 #

Khi nào #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1,0015) = + -0.9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #