Giải phương trình x trong RR phương trình sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Câu trả lời:

#x trong 5, 10 #

Giải trình:

Để cho # u = x-1 #. Sau đó chúng ta có thể viết lại phía bên trái của phương trình như

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Lưu ý sự hiện diện của #sqrt (u) # trong phương trình và chúng ta chỉ tìm kiếm các giá trị thực, vì vậy chúng ta có hạn chế #u> = 0 #. Với điều đó, bây giờ chúng tôi sẽ xem xét tất cả các trường hợp còn lại:

Trường hợp 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Như vậy # u = 4 # là giải pháp duy nhất trong khoảng #0, 4#

Trường hợp 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Vì đây là một tautology, mọi giá trị trong #4, 9# là một giải pháp.

Trường hợp 3: #u> = 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Như vậy #u = 9 # là giải pháp duy nhất trong khoảng # 9, oo) #

Lấy nhau, chúng ta có #4, 9# là giải pháp được đặt cho các giá trị thực của # u #. Thay thế trong #x = u + 1 #, chúng tôi đến bộ giải pháp cuối cùng #x trong 5, 10 #

Nhìn vào biểu đồ của phía bên tay trái, điều này khớp với những gì chúng ta mong đợi: