Tìm cực đại và cực tiểu của f (x) = 5sinx + 5cosx trên một khoảng [0,2pi]?

Câu trả lời:

Có

• tối đa cục bộ tại # (pi / 2, 5) # và
• tối thiểu địa phương tại # ((3pi) / 2, -5) #

Giải trình:

#color (darkblue) (sin (pi / 4)) = color (darkblue) (cos (pi / 4)) = color (darkblue) (1) #

#f (x) = 5sinx + 5cosx #

#color (trắng) (f (x)) = 5 (màu (darkblue) (1) * sinx + color (darkblue) (1) * cosx) #

#color (trắng) (f (x)) = 5 (màu (darkblue) (cos (pi / 4)) * sinx + color (darkblue) (sin (pi / 4)) * cosx) #

Áp dụng nhận dạng góc ghép cho hàm sin

#sin (alpha + beta) = sin alpha * cos beta + cos alpha * sin beta #

# màu (đen) (f (x)) = 5 * sin (pi / 4 + x) #

Để cho # x # là # x- #tọa độ của cực trị cục bộ của chức năng này.

# 5 * cos (pi / 4 + x) = f '(x) = 0 #

# pi / 4 + x = pi / 2 + k * pi # Ở đâu # k # một số nguyên.

# x = -pi / 2 + k * pi #

#x trong {pi / 2, (3pi) / 2} #

• #f (pi / 2) = 5 * sin (pi / 2) = 5 #,

  do đó có tối đa cục bộ tại # (pi / 2, 5) #

• #f (pi / 2) = 5 * sin ((3pi) / 2) = - 5 #,

  do đó có một mức tối thiểu cục bộ tại # (pi / 2, -5) #