Câu hỏi số 92256

Câu trả lời:

Xem giải thích

Giải trình:

Chia phần này thành hai phần, trước hết là phần bên trong:

# e ^ x #

Điều này là tích cực và tăng cho tất cả các số thực và đi từ 0 đến # oo # như # x # đi từ # -oo # đến # oo #

Chúng tôi có:

#arctan (u) #

Có một tiệm cận ngang bên phải tại # y = pi / 2 #. Đi từ # u = 0 rarr oo #, tại # u = 0 # hàm này dương và tăng trên miền này, lấy giá trị 0 tại # u = 0 #, một giá trị của # pi / 4 # tại # u = 1 # và giá trị của # pi / 2 # tại # u = oo #.

Những điểm này do đó được kéo đến # x = -oo, 0, oo # tương ứng và chúng tôi kết thúc với một biểu đồ trông như thế này là kết quả:

đồ thị {arctan (e ^ x) -10, 10, -1,5, 3}

Đó là phần tích cực của # arctan # hàm trải dài trên toàn bộ dòng thực với giá trị bên trái được kéo dài thành một tiệm cận ngang tại # y = 0 #.

Câu trả lời:

Xem giải thích

Giải trình:

Miền Là # RR #

Đối xứng

Không liên quan đến # x # trục cũng không w.r.t nguồn gốc.

#arctan (e ^ (- x)) # không đơn giản hóa để #arctan (e ^ x) #

cũng không để # -arctan (e ^ x) #

Đánh chặn

# x # chặn: không

Chúng ta không thể có được #y = 0 # bởi vì điều đó sẽ đòi hỏi # e ^ x = 0 #

Nhưng # e ^ x # không bao giờ #0#, nó chỉ tiếp cận #0# như # xrarr-oo #.

Vì thế, # yrarr0 # như # xrarr-oo # và # x # trục os ngang

tiệm cận bên trái.

# y # đánh chặn: # pi / 4 #

Khi nào # x = 0 #, chúng tôi nhận được #y = arctan (1) = pi / 4 #

Tiệm cận:

Dọc: không

# arctan # ở giữa # -pi / 2 # và # pi / 2 # theo định nghĩa, vì vậy không bao giờ đi đến # oo #

Ngang:

Trái: # y = 0 # Như đã thảo luận ở trên

Đúng: # y = pi / 2 #

Chúng tôi biết rằng, như # thetararrpi / 2 # với #theta <pi / 2 #, chúng tôi nhận được #tantheta rarr oo #

vì vậy, như # xrarroo #, chúng tôi nhận được # e ^ x rarroo #, vì thế # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Dẫn suất đầu tiên

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # không bao giờ #0# và không bao giờ không xác định, vì vậy không có con số quan trọng.

Cho mọi # x # chúng ta có #y '> 0 # vì vậy chức năng đang tăng lên # (- oo, oo) #

Không có cực trị cục bộ.

Dẫn xuất thứ hai

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # không bao giờ được xác định, và nó là #0# tại # x = 0 #

Dấu hiệu của #y '' #:

Trên # (- oo, 0) #, chúng tôi nhận được # e ^ (2x) <1 # vì thế #y ''> 0 # và đồ thị lõm lên

Trên # (0, oo) #, chúng tôi nhận được # e ^ (2x)> 1 # vì thế #y '' <0 # và đồ thị lõm xuống

Sự thay đổi liên kết tại # x = 0 #, vì vậy điểm uốn là:

# (0, pi / 4) #

Bây giờ phác thảo biểu đồ