Tại sao chúng ta không thể tích hợp x ^ x?

Câu trả lời:

Chúng tôi không có một quy tắc cho nó.

Giải trình:

Trong tích phân, chúng tôi có các quy tắc tiêu chuẩn. Quy tắc chống chuỗi, quy tắc chống sản phẩm, quy tắc chống quyền lực, v.v. Nhưng chúng ta không có một chức năng có một # x # trong cả cơ sở và sức mạnh. Chúng ta có thể lấy đạo hàm của nó tốt, nhưng cố gắng lấy tích phân của nó là không thể vì thiếu các quy tắc mà nó sẽ hoạt động.

Nếu bạn mở Máy tính đồ họa Desmos, bạn có thể thử cắm vào

# int_0 ^ x a ^ ada #

và nó sẽ vẽ đồ thị nó tốt Nhưng nếu bạn cố gắng sử dụng quy tắc chống quyền lực hoặc quy tắc chống lũy thừa để lập biểu đồ chống lại nó, bạn sẽ thấy nó thất bại. Khi tôi cố gắng tìm nó (mà tôi vẫn đang làm việc), bước đầu tiên của tôi là đưa nó ra khỏi biểu mẫu này và vào phần sau:

# inte ^ (xln (x)) dx #

Điều này về cơ bản cho phép chúng ta sử dụng các quy tắc tính toán tốt hơn một chút. Nhưng ngay cả khi sử dụng Tích hợp theo Bộ phận, bạn không bao giờ thực sự thoát khỏi tích phân. Do đó, bạn không thực sự có được một chức năng để xác định nó.

Nhưng như mọi khi trong Toán học, thật vui khi thử nghiệm.Vì vậy, hãy tiếp tục và cố gắng, nhưng không quá lâu hoặc khó khăn, bạn sẽ bị hút vào lỗ thỏ này.

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

#y = x ^ x # có thể được tích hợp. Ví dụ

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0,783430510712135 … #

một điều nữa là bây giờ một ngày, một chức năng #f (x) # đại diện ở dạng kín, nguyên thủy cho # x ^ x # hay nói cách khác, như vậy

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Nếu đây là một chức năng được sử dụng phổ biến trong các vấn đề khoa học kỹ thuật, chắc chắn chúng ta đã phát minh ra một tên và biểu tượng khác biệt để thao túng nó. Giống như hàm Lambert được định nghĩa là

#W (x) = x e ^ x #

Câu trả lời:

Vui lòng xem bên dưới.

Giải trình:

Như Cesareo đã chỉ ra (không cần nói), có một sự mơ hồ trong "chúng ta không thể hòa nhập".

Chức năng #f (x) = x ^ x # là liên tục trên # (0, oo) #

và hơn thế nữa # 0, oo) # nếu chúng ta làm #f (0) = 1 #Vì vậy, hãy làm điều đó. Do đó, tích phân xác định

# int_a ^ b x ^ x dx # không tồn tại cho tất cả # 0 <= a <= b #

Hơn nữa, định lý cơ bản của calulus cho chúng ta biết rằng hàm # int_0 ^ x t ^ t dt # có đạo hàm # x ^ x # cho #x> = 0 #

Những gì chúng ta không thể làm là biểu diễn hàm này dưới dạng biểu thức đại số tốt, hữu hạn, khép kín (hoặc thậm chí biết rõ các hàm siêu việt).

Có nhiều điều trong toán học không thể diễn đạt được ngoại trừ trong một hình thức cho phép các xấp xỉ tốt hơn liên tiếp.

Ví dụ:

Số có hình vuông là #2# không thể được biểu thị dưới dạng thập phân hoặc phân số bằng biểu thức hữu hạn. Vì vậy, chúng tôi cung cấp cho nó một biểu tượng, # sqrt2 # và gần đúng với bất kỳ mức độ chính xác mong muốn nào.

Tỷ lệ chu vi với đường kính của một vòng tròn không thể được biểu thị chính xác bằng cách sử dụng kết hợp đại số hữu hạn của các số nguyên, vì vậy chúng tôi đặt tên cho nó, #số Pi# và gần đúng với bất kỳ mức độ chính xác mong muốn nào.

Giải pháp cho # x = cosx # cũng có thể xấp xỉ với bất kỳ mức độ chính xác mong muốn nào, nhưng không thể được thể hiện chính xác. Con số này (có lẽ) không đủ quan trọng để được đặt tên.

Như Cesareo đã nói, nếu không thể thiếu # x ^ x # có nhiều ứng dụng, các nhà toán học sẽ áp dụng một tên cho nó.

Nhưng tính toán vẫn sẽ yêu cầu xấp xỉ vô hạn.