Làm thế nào để bạn xác định loại hình nón 4x ^ 2 + 8y ^ 2-8x-24 = 4 là, nếu có và nếu phương trình đại diện cho một hình nón, hãy nêu đỉnh hoặc tâm của nó?

Câu trả lời:

Một hình elip

Conics có thể được đại diện như

#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #

Ở đâu #p = {x, y} # và

#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.

Đối với hình nón #m_ {12} = m_ {21} # sau đó # M # giá trị riêng luôn luôn là thực bởi vì ma trận là đối xứng.

Đa thức đặc trưng là

#p (lambda) = lambda ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) lambda + det (M) #

Tùy thuộc vào rễ của chúng, hình nón có thể được phân loại là

1) Bằng --- vòng tròn

2) Cùng dấu và giá trị tuyệt đối khác nhau --- hình elip

3) Dấu hiệu khác nhau --- hyperbola

4) Một gốc null --- parabola

Trong trường hợp hiện tại, chúng tôi có

#M = ((4,0), (0,8)) #

với đa thức đặc trưng

# lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #

với rễ #{4,8}# vì vậy chúng ta có một hình elip.

Là một hình elip có một đại diện chính tắc cho nó

# ((x-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #

# x_0, y_0, a, b # có thể được xác định như sau

# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 cho x RR #

cho

# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0), (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #

giải quyết chúng tôi nhận được

# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #

vì thế

# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} tương đương {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #