Làm thế nào để bạn tích hợp int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Câu trả lời:

Sử dụng một # u #-subst hiến để có được # -3lnabs (cũi (t)) + C #.

Giải trình:

Đầu tiên, lưu ý rằng bởi vì #3# là một hằng số, chúng ta có thể kéo nó ra khỏi tích phân để đơn giản hóa:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / cũi (t) dt #

Bây giờ - và đây là phần quan trọng nhất - lưu ý rằng đạo hàm của #cot (t) # Là # -csc ^ 2 (t) #. Bởi vì chúng ta có một hàm và hàm dẫn xuất của nó trong cùng một tích phân, chúng ta có thể áp dụng một # u # thay thế như thế này:

# u = cũi (t) #

# (du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# du = -csc ^ 2 (t) dt #

Chúng ta có thể chuyển đổi tích cực # csc ^ 2 (t) # đến một tiêu cực như thế này:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Và áp dụng thay thế:

# -3int (du) / u #

Chúng ta biết rằng #int (du) / u = lnabs (u) + C #, vì vậy đánh giá tích phân được thực hiện. Chúng ta chỉ cần đảo ngược thay thế (đặt câu trả lời lại về # t #) và đính kèm #-3# kết quả Kể từ khi # u = cũi (t) #, chúng ta có thể nói:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (cũi (t)) + C #

Và đó là tất cả.

Câu trả lời:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const. #

Giải trình:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Nhớ lấy

#sin 2t = 2 giây * chi phí #

Vì thế

# = 3int dt / ((1/2) tội 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Như chúng ta có thể tìm thấy trong một bảng tích phân

(ví dụ: Bảng tích phân chứa Csc (ax) trong SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

chúng tôi nhận được kết quả này

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const. #