Một tam giác có các góc tại (4, 1), (2, 4) và (0, 2) #. Các điểm cuối của hình vuông góc của tam giác là gì?

Câu trả lời:

Các điểm cuối dễ dàng là điểm giữa, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# và những điều khó khăn hơn là nơi những người chia rẽ gặp gỡ các bên khác, bao gồm #(8/3,4/3).#

Giải trình:

Theo các đường phân giác vuông góc của một tam giác, có lẽ chúng ta có nghĩa là phép chia vuông góc của mỗi cạnh của một tam giác. Vì vậy, có ba hình vuông góc cho mỗi tam giác.

Mỗi bisector vuông góc được xác định để giao nhau một bên tại điểm giữa của nó. Nó cũng sẽ giao nhau với một trong những mặt khác. Chúng tôi sẽ cho rằng hai cuộc gặp gỡ là điểm cuối.

Các trung điểm là

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Đây có lẽ là một nơi tốt để tìm hiểu về các biểu diễn tham số cho các dòng và phân đoạn dòng. # t # là một tham số có thể nằm trên phạm vi thực (đối với một dòng) hoặc từ #0# đến #1# cho một đoạn đường.

Hãy ghi nhãn các điểm #A (4,1) #, #B (2,4) # và #C (0,2) #. Ba mặt là:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Như # t # đi từ không đến một, chúng tôi theo dõi mỗi bên.

Chúng ta hãy làm việc ra. # D # là trung điểm của # BC #, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Vectơ chỉ hướng từ C đến B là # B-C = (2,2) #. Đối với đường vuông góc, chúng ta lật hai hệ số (không ảnh hưởng ở đây vì cả hai đều #2#) và phủ nhận một. Vậy phương trình tham số cho đường vuông góc

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Dòng khác nhau, tham số khác nhau.) Chúng ta có thể thấy nơi này đáp ứng mỗi bên.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # xác minh rằng bộ chia vuông góc gặp BC tại điểm giữa của nó.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Trừ đi, # t = 2-3 = - 1 #

Điều đó nằm ngoài phạm vi nên bộ chia vuông góc của BC không chạm vào cạnh AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 tứ giác 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 tứ giác 2 = t + 2u #

Trừ đi, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Điều đó mang lại cho các điểm cuối khác như

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Việc này sẽ kéo dài, vì vậy tôi sẽ để lại hai điểm cuối khác cho bạn.