Đạo hàm ngầm của 4 = (x + y) ^ 2 là gì?

Câu trả lời:

Bạn có thể sử dụng phép tính và dành một vài phút cho vấn đề này hoặc bạn có thể sử dụng đại số và dành vài giây, nhưng bằng cách nào đó bạn sẽ nhận được # dy / dx = -1 #.

Giải trình:

Bắt đầu bằng cách lấy đạo hàm đối với cả hai bên:

# d / dx (4) = d / dx (x + y) ^ 2 #

Ở bên trái, chúng ta có đạo hàm của một hằng số - chỉ là #0#. Điều đó phá vỡ vấn đề xuống:

# 0 = d / dx (x + y) ^ 2 #

Để đánh giá # d / dx (x + y) ^ 2 #, chúng ta cần sử dụng quy tắc sức mạnh và quy tắc chuỗi:

# d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) ^ (2-1) #

chú thích: chúng tôi nhân với # (x + y) '# bởi vì quy tắc chuỗi cho chúng ta biết chúng ta phải nhân đạo hàm của toàn bộ hàm (trong trường hợp này # (x + y) ^ 2 # bởi chức năng bên trong (trong trường hợp này # (x + y) #).

# d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) #

Đối với # (x + y) '#, lưu ý rằng chúng ta có thể sử dụng quy tắc tổng để chia nó thành # x '+ y' #. # x '# chỉ đơn giản là #1#và bởi vì chúng ta không thực sự biết những gì # y # là, chúng ta phải đi # y '# như # dy / dx #:

# d / dx (x + y) ^ 2 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Bây giờ chúng tôi đã tìm thấy đạo hàm của mình, vấn đề là:

# 0 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Làm một số đại số để cô lập # dy / dx #, chúng tôi thấy:

# 0 = (1 + dy / dx) (2x + 2y) #

# 0 = 2x + dy / dx2x + dy / dx2y + 2y #

# 0 = x + dy / dxx + dy / dxy + y #

# -x-y = dy / dxx + dy / dxy #

# -x-y = dy / dx (x + y) #

# dy / dx = (- x-y) / (x + y) #

Thật thú vị, điều này bằng #-1# cho tất cả # x # và # y # (ngoại trừ khi # x = -y #). Vì thế, # dy / dx = -1 #. Chúng tôi thực sự có thể tìm ra điều này mà không cần sử dụng bất kỳ phép tính nào cả! Nhìn vào phương trình # 4 = (x + y) ^ 2 #. Lấy căn bậc hai của hai bên để có được # + - 2 = x + y #. Bây giờ trừ # x # từ cả hai phía, và chúng tôi có #y = + - 2-x #. Ghi nhớ những điều này từ đại số? Độ dốc của đường này là #-1#và vì đạo hàm là độ dốc, chúng ta có thể vừa nói # dy / dx = -1 # và tránh tất cả những công việc đó.