Phương sai của X là gì nếu nó có hàm mật độ xác suất sau :: f (x) = {3x2 nếu -1 <x <1; 0 khác}

Câu trả lời:

#Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx # mà không thể được viết là:

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx - mu ^ 2 #

# sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 x ^ 5 _- 1 ^ 1 = 6/5 #

Giải trình:

Tôi giả sử câu hỏi đó có nghĩa là để nói

#f (x) = 3x ^ 2 "cho" -1 <x <1; 0 "nếu không" #

Tìm phương sai?

#Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx #

Mở rộng:

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mucattery (intxf (x) dx) ^ mu + mu ^ 2cattery (intf (x) dx) ^ 1 #

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx - mu ^ 2 #

thay thế

# sigma ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 2 * x ^ 2dx -mu ^ 2 = sigma_0 ^ 2 + mu ^ 2 #

Ở đâu, # sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx # và # mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx #

Vì vậy, hãy tính toán # sigma_0 ^ 2 "và" mu #

bằng đối xứng # mu = 0 # để xem:

# mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx = 3 / 4x ^ 4 _- 1 ^ 1 = 3/4 1-1 #

# sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 x ^ 5 _- 1 ^ 1 = 6/5 #