Làm thế nào để bạn sử dụng Kiểm tra tích phân để xác định sự hội tụ hoặc phân kỳ của chuỗi: sum n e ^ -n từ n = 1 đến vô cùng?

Câu trả lời:

Lấy tích phân # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, đó là hữu hạn, và lưu ý rằng nó giới hạn #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Do đó nó hội tụ, vì vậy #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # là tốt

Giải trình:

Tuyên bố chính thức của kiểm tra tích phân nói rằng nếu #fin 0, oo) rightarrowRR # một hàm giảm đơn điệu không âm. Sau đó là tổng #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # là hội tụ khi và chỉ khi # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # là hữu hạn. (Tau, Terence. Phân tích I, ấn bản thứ hai. Cơ quan sách Hindustan. 2009).

Tuyên bố này có vẻ hơi kỹ thuật, nhưng ý tưởng là như sau. Trong trường hợp này chức năng #f (x) = xe ^ (- x) #, chúng tôi lưu ý rằng cho #x> 1 #, chức năng này đang giảm. Chúng ta có thể thấy điều này bằng cách lấy đạo hàm. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, kể từ #x> 1 #, vì thế # (1-x) <0 # và #e ^ (- x)> 0 #.

Do đó, chúng tôi lưu ý rằng đối với bất kỳ #ninNN _ (> = 2) # và #x trong 1, oo) # như vậy mà #x <= n # chúng ta có #f (x)> = f (n) #. vì thế #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, vì thế #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # sử dụng tích hợp bởi các bộ phận và đó #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Kể từ khi #f (x)> = 0 #, chúng ta có # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, vì thế #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Kể từ khi #f (n)> = 0 #, bộ #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # tăng khi # N # tăng. Vì nó được giới hạn bởi # 3 / e #, nó phải hội tụ. vì thế #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # hội tụ.