Khoảng hội tụ của sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n là gì?

Câu trả lời:

#x trong (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Giải trình:

Chúng ta có thể #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # là một loạt hình học với tỷ lệ # r = 1 / (x (1-x)) #.

Bây giờ chúng ta biết rằng chuỗi hình học hội tụ khi giá trị tuyệt đối của tỷ lệ nhỏ hơn 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Vì vậy, chúng ta phải giải quyết bất đẳng thức này:

# 1 / (x (1-x)) <1 và 1 / (x (1-x))> -1 #

Hãy bắt đầu với cái đầu tiên:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Chúng ta có thể dễ dàng chứng minh rằng tử số luôn dương và mẫu số là không quan trọng trong khoảng #x trong (-oo, 0) U (1, oo) #.

Vì vậy, đây là giải pháp cho bất bình đẳng đầu tiên của chúng tôi.

Chúng ta hãy xem cái thứ hai:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Bất đẳng thức này có giải pháp khoảng:

#x trong (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Vì vậy, chuỗi của chúng tôi hội tụ trong đó điều này đến cả hai đều đúng.

Do đó, khoảng hội tụ của chúng tôi là:

#x trong (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #