Làm thế nào để bạn sử dụng chuỗi nhị thức để mở rộng sqrt (1 + x)?

Câu trả lời:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = tổng (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # với #x trong CC #

Sử dụng tổng quát hóa công thức nhị thức cho các số phức.

Giải trình:

Có một sự khái quát của công thức nhị thức cho các số phức.

Công thức chuỗi nhị thức chung dường như là # (1 + z) ^ r = tổng ((r) _k) / (k!) Z ^ k # với # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (theo Wikipedia). Hãy áp dụng nó cho biểu hiện của bạn.

Đây là một chuỗi sức mạnh rõ ràng, nếu chúng ta muốn có cơ hội rằng điều này không phân kỳ, chúng ta cần phải thiết lập #absx <1 # và đây là cách bạn mở rộng #sqrt (1 + x) # với loạt nhị thức.

Tôi sẽ không chứng minh công thức là đúng, nhưng nó không quá khó, bạn chỉ cần thấy rằng hàm phức tạp được xác định bởi # (1 + z) ^ r # là biến hình trên đĩa đơn vị, tính mọi đạo hàm của nó bằng 0 và điều này sẽ cung cấp cho bạn công thức Taylor của hàm, có nghĩa là bạn có thể phát triển nó thành một chuỗi lũy thừa trên đĩa đơn vị vì #absz <1 #, do đó kết quả.