Câu trả lời:
Làm nhiều đại số sau khi áp dụng định nghĩa giới hạn để thấy rằng độ dốc tại # x = 3 # Là #13#.
Giải trình:
Định nghĩa giới hạn của đạo hàm là:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Nếu chúng tôi đánh giá giới hạn này cho # 3x ^ 2-5x + 2 #, chúng ta sẽ nhận được một biểu thức cho phái sinh của chức năng này. Đạo hàm chỉ đơn giản là độ dốc của đường tiếp tuyến tại một điểm; vì vậy đánh giá đạo hàm tại # x = 3 # sẽ cho chúng ta độ dốc của đường tiếp tuyến tại # x = 3 #.
Như đã nói, hãy bắt đầu:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (hủy (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-hủy (5x) -5h + hủy (2) -cattery (3x ^ 2) + hủy (5x) -celon (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (hủy (h) (6x + 3h-5)) / hủy (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Đánh giá giới hạn này tại # h = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Bây giờ chúng ta có đạo hàm, chúng ta chỉ cần cắm vào # x = 3 # để tìm độ dốc của đường tiếp tuyến ở đó:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Câu trả lời:
Xem phần giải thích bên dưới nếu giáo viên / sách giáo khoa của bạn sử dụng #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Giải trình:
Một số bài trình bày về sử dụng tính toán, cho độ dốc của đường tiếp tuyến với biểu đồ của #f (x) # tại điểm # x = a # Là #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # với điều kiện là giới hạn tồn tại
(Ví dụ phiên bản thứ 8 của James Stewart Giải tích trang 106. Trên trang 107, anh ta đưa ra tương đương #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Với định nghĩa này, độ dốc của đường tiếp tuyến với biểu đồ của #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # tại điểm # x = 3 # Là
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) +2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Lưu ý rằng giới hạn này có dạng không xác định #0/0# bởi vì #3# là một số không của đa thức trong tử số.
Kể từ khi #3# là một con số không, chúng ta biết rằng # x-3 # là một yếu tố. Vì vậy, chúng ta có thể yếu tố, giảm và cố gắng đánh giá lại.
# = lim_ (xrarr3) (hủy ((x-3)) (3x + 4)) / hủy ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Giới hạn là #13#, do đó độ dốc của đường tiếp tuyến tại # x = 3 # Là #13#.
