Ý nghĩa của giới hạn của một chức năng là gì?

Câu trả lời:

Tuyên bố #lim_ (x a) f (x) = L # có nghĩa là: như # x # đến gần hơn với # a #, #f (x) # đến gần hơn với # L #.

Giải trình:

Định nghĩa chính xác là:

Đối với bất kỳ số thực #ε>0#, tồn tại một số thực khác #δ>0# như vậy nếu # 0 <| x-a |<>, sau đó # | f (x) -L |<>.

Xem xét chức năng #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Nếu chúng ta vẽ đồ thị, nó trông như thế này:

Chúng tôi không thể nói giá trị là gì # x = 1 #, nhưng nó trông như thể #f (x) # cách tiếp cận #2# như # x # cách tiếp cận #1#.

Hãy thử thể hiện điều đó #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

Câu hỏi là, làm thế nào để chúng ta nhận được từ # 0 <| x-1 |<> đến # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Chúng ta phải bắt đầu với một số giá trị của #ε# và sau đó tìm một giá trị tương ứng cho #δ#.

Hãy bắt đầu với

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((x + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

Điều kiện khác là

# | x-1 | <δ #

Định nghĩa phù hợp chính xác nếu #δ = ε#.

Chúng tôi đã chỉ ra rằng cho bất kỳ #ε#, đây là một #δ# vậy đó # | f (x) 2 |<> khi nào # 0 <| x 1 |<>.

Vì vậy, chúng tôi đã chỉ ra rằng

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #