Hai góc của một tam giác có các góc (3 pi) / 8 và pi / 6. Nếu một cạnh của tam giác có độ dài bằng 1 thì chu vi của tam giác dài nhất có thể là bao nhiêu?

Hai góc của một tam giác có các góc (3 pi) / 8 và pi / 6. Nếu một cạnh của tam giác có độ dài bằng 1 thì chu vi của tam giác dài nhất có thể là bao nhiêu?
Anonim

Câu trả lời:

Chu vi dài nhất có thể là khoảng #4.8307#.

Giải trình:

Đầu tiên, chúng ta tìm thấy một góc còn lại, sử dụng thực tế là các góc của tam giác cộng với #số Pi#:

Dành cho #trigin ABC #:

Để cho #angle A = (3pi) / 8 #

Để cho #angle B = pi / 6 #

Sau đó

#angle C = pi - (3pi) / 8 - pi / 6 #

#color (trắng) (góc C) = pi - (9pi) / 24 - (4pi) / 24 #

#color (trắng) (góc C) = (11pi) / 24 #

Đối với bất kỳ tam giác nào, cạnh ngắn nhất luôn đối diện với góc nhỏ nhất. (Tương tự với cạnh dài nhất và góc lớn nhất.)

Để tối đa hóa chu vi, chiều dài một bên được biết phải là nhỏ nhất. Vì vậy kể từ #angle B # là nhỏ nhất (tại # pi / 6 #), chúng tôi đặt # b = 1 #.

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng luật hình sin để tính hai mặt còn lại:

#sin A / a = sinB / b #

# => a = b lần (sinA) / (sinB) #

#color (trắng) (=> a) = 1 * (sin ((3pi) / 8)) / (sin (pi / 6)) #

#color (trắng) (=> a) ~ ~ 0,9239 / 0,5 "" "" = 1.8478 #

Một công thức tương tự được sử dụng để hiển thị #c ~ ~ 1.9829 #.

Thêm ba giá trị này (của # a #, # b ## c #) cùng nhau sẽ mang lại chu vi dài nhất có thể cho một tam giác giống như mô tả:

# P = "" a "" + b + "" c #

#color (trắng) P ~ ~ 1.8478 + 1 + 1.9829 #

# màu (trắng) P = 4.8307 #

(Vì đây là câu hỏi hình học, bạn có thể được yêu cầu cung cấp câu trả lời ở dạng chính xác, với các gốc. Điều này là có thể, nhưng hơi tẻ nhạt vì câu trả lời ở đây, đó là lý do tại sao tôi đã đưa ra câu trả lời của mình như một giá trị thập phân gần đúng.)