Giới hạn khi t đạt 0 của (tan6t) / (sin2t) là gì?

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Chúng tôi xác định điều này bằng cách sử dụng Quy tắc của L'hospital.

Để diễn giải, quy tắc của L'Hospital nói rằng khi được đưa ra một giới hạn của biểu mẫu #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, Ở đâu #f (a) # và #g (a) # là các giá trị làm cho giới hạn không xác định (thường xuyên nhất, nếu cả hai đều bằng 0 hoặc một số dạng), miễn là cả hai hàm đều liên tục và khác biệt tại và trong vùng lân cận của # a, # người ta có thể nói rằng

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Hay nói cách khác, giới hạn thương số của hai hàm bằng với giới hạn thương số của các đạo hàm của chúng.

Trong ví dụ được cung cấp, chúng tôi có #f (t) = tan (6t) # và #g (t) = sin (2t) #. Các chức năng này liên tục và khác biệt gần # t = 0, tan (0) = 0 và tội lỗi (0) = 0 #. Như vậy, ban đầu của chúng tôi #f (a) / g (a) = 0/0 = ?. #

Do đó, chúng ta nên sử dụng Quy tắc của L'Hospital. # d / dt tan (6t) = 6 giây ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. Do đó …

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (t-> 0) (6 giây ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 giây ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Câu trả lời:

Yêu cầu Lim.#=3#.

Giải trình:

Chúng tôi sẽ tìm thấy điều này Giới hạn sử dụng như sau Kết quả tiêu chuẩn:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Quan sát rằng, #tan (6t) / sin (2t) = frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (tội lỗi (2t) / (2t)) #

Đây, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Tương tự như vậy, #lim_ (trarr0) tội lỗi (2t) / (2t) = 1 #

Do đó, Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.