Hai góc của một tam giác có các góc là (3 pi) / 8 và pi / 8. Nếu một cạnh của tam giác có độ dài bằng 3 thì chu vi của tam giác dài nhất có thể là bao nhiêu?

Đầu tiên, chúng tôi lưu ý rằng nếu hai góc là # alpha = pi / 8 # và # beta = (3pi) / 8 #, vì tổng các góc trong của một tam giác luôn luôn là #số Pi# góc thứ ba là: # gamma = pi-pi / 8- (3pi) / 8 = pi / 2 #, vì vậy đây là một tam giác vuông.

Để tối đa hóa chu vi, phía đã biết phải là cathetus ngắn hơn, vì vậy nó sẽ nằm đối diện với góc nhỏ nhất, đó là # alpha #.

Đường huyền của tam giác sau đó sẽ là:

# c = a / sin alpha = 3 / sin (pi / 8) #

Ở đâu #sin (pi / 8) = sin (1 / 2pi / 4) = sqrt ((1-cos (pi / 4)) / 2) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / 2) #

# c = (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) #

trong khi các cathetus khác là:

#b = a / tan (pi / 8) #

Ở đâu #tan (pi / 8) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / (1 + sqrt (2) / 2)) #

# b = 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #

Cuối cùng:

# a + b + c = 3+ (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) + 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #