Hai góc của một tam giác có các góc (3 pi) / 4 và pi / 6. Nếu một cạnh của tam giác có độ dài bằng 9 thì chu vi của tam giác dài nhất có thể là bao nhiêu?

Câu trả lời:

Chu vi dài nhất có thể là # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

Giải trình:

Với hai góc đã cho, chúng ta có thể tìm góc thứ 3 bằng cách sử dụng khái niệm tổng của cả ba góc trong một tam giác là # 180 ^ @ hoặc pi #:

# (3pi) / 4 + pi / 6 + x = pi #

#x = pi - (3pi) / 4 - pi / 6 #

#x = pi - (11pi) / 12 #

#x = pi / 12 #

Do đó, góc thứ ba là # pi / 12 #

Bây giờ, hãy nói

# / _ A = (3pi) / 4, / _B = pi / 6 và / _C = pi / 12 #

Sử dụng quy tắc sin chúng ta có, # (Tội lỗi / _A) / a = (Tội lỗi / _B) / b = (Tội lỗi / _C) / c #

trong đó, a, b và c là chiều dài của các cạnh đối diện với # / _ A, / _B và / _C # tương ứng.

Sử dụng bộ phương trình trên, chúng ta có:

#a = a, b = (Tội lỗi / _B) / (Tội lỗi / _A) * a, c = (Tội lỗi / _C) / (Tội lỗi / _A) * a #

#or a = a, b = (Sin (pi / 6)) / (Sin ((3pi) / 4)) * a, c = (Sin (pi / 12)) / (Sin ((3pi) / 4)) * một #

#rArr a = a, b = a / (sqrt2), c = (a * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

Bây giờ, để tìm chu vi dài nhất có thể của tam giác

#P = a + b + c #

Giả định, #a = 9 #, chúng ta có

#a = 9, b = 9 / sqrt2 và c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#rArrP = 9 + 9 / (sqrt2) + (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#or P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / 2 #

# hoặc P ~ ~ 18.66 #

Giả định, #b = 9 #, chúng ta có

#a = 9sqrt2, b = 9 và c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#rArrP = 9sqrt2 + 9 + (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#or P = (9 (2 + sqrt 2 + sqrt 6)) / 2 #

# hoặc P ~ ~ 26,39 #

Giả định, #c = 9 #, chúng ta có

#a = 18 / (sqrt3 - 1), b = (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) và c = 9 #

#rArrP = 18 / (sqrt3 - 1) + (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) + 9 #

#or P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

# hoặc P ~ ~ 50,98 #

Do đó, chu vi dài nhất có thể của tam giác đã cho là # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #