Tam giác A có diện tích 12 và hai cạnh dài 4 và 8. Tam giác B tương tự tam giác A và có cạnh dài 7. Các diện tích tối đa và tối thiểu có thể có của tam giác B là gì?

Câu trả lời:

#A_ "Bmin" ~ ~ 4,8 #

#A_ "Bmax" = 36,75 #

Giải trình:

Trước tiên, bạn phải tìm độ dài cạnh cho tam giác A có kích thước tối đa, khi cạnh dài nhất lớn hơn 4 và 8 và tam giác có kích thước tối thiểu, khi 8 là bên dài nhất.

Để làm điều này sử dụng công thức Heron's Area: #s = (a + b + c) / 2 # Ở đâu #a, b, & c # là độ dài cạnh của tam giác:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Để cho #a = 8, b = 4 "&" c "là độ dài cạnh không xác định" #

#s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c)) #

Hình vuông cả hai mặt:

# 144 = (6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c) #

Rút ra 1/2 từ mỗi yếu tố:

# 144 = 1/16 (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

Đơn giản hóa:

# 2304 = (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

# 2304 = (48 + 8c-c ^ 2) (- 48 + 8c + c ^ 2) #

# 2304 = -2304 + 384c + 48c ^ 2 - 384c + 64c ^ 2 + 8c ^ 3 + 48c ^ 2-8c ^ 3-c ^ 4 #

# c ^ 4 - 160c ^ 2 + 4608 = 0 #

* Thay thế #x = c ^ 2 *: "" x ^ 2 -160x + 4608 = 0 #

Sử dụng hoàn thành hình vuông:

# (x ^ 2-160x) = -4608 #

# (x - 160/2) ^ 2 = -4608 + (-160/2) ^ 2 #

# (x-80) ^ 2 = 1792 #

Căn bậc hai cả hai bên:

# x-80 = + -sqrt (1792) #

#x = 80 + -sqrt (16) sqrt (16) sqrt (7) #

#x = 80 + -16 sqrt (7) #

Thay thế # c ^ 2 = x #:

# c ^ 2 = 80 + -16 sqrt (7) #

#c = + - sqrt (80 + -16 sqrt (7)) #

Vì độ dài cạnh tam giác là dương nên chúng ta cần bỏ qua các câu trả lời phủ định:

Độ dài cạnh tối thiểu và tối đa của tam giác A:

#c = sqrt (80 + -16 sqrt (7)) ~ ~ 6.137, 11,06 #

Kể từ khi diện tích của hình tam giác tỷ lệ với hình vuông có độ dài cạnh chúng ta có thể tìm thấy diện tích tối đa và tối thiểu của tam giác B:

# A_B / A_A = (7/4) ^ 2; "" A_B = (7/4) ^ 2 * 12 = 36,75 #

# A_B / A_A = (7/8) ^ 2; "" A_B = (7/8) ^ 2 * 12 = 9.1875 #

# A_B / A_A ~ ~ (7/11/2016) ^ 2; "" A_B ~ ~ (7/11/2016) ^ 2 * 12 ~ ~ 4,8 #

# A_B / A_A ~ ~ (7 / 6.137) ^ 2; "" A_B ~ ~ (7 / 6.137) ^ 2 * 12 ~ ~ 15.6 #

#A_ "Bmin" ~ ~ 4,8 #

#A_ "Bmax" = 36,75 #