Diện tích bề mặt của vật rắn được tạo ra bằng cách quay f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x trong [1,3] quanh trục x là gì?

Câu trả lời:

Xác định dấu, sau đó tích hợp bởi các bộ phận. Diện tích là:

# A = 39,6345 #

Giải trình:

Bạn phải biết liệu #f (x) # là tiêu cực hoặc tích cực trong #1,3#. Vì thế:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Để xác định một dấu hiệu, yếu tố thứ hai sẽ dương khi:

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Kể từ khi # e ^ x> 0 # bất cứ gì #x trong (-oo, + oo) # sự bất bình đẳng không thay đổi:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Vậy hàm chỉ dương khi x âm và ngược lại. Vì cũng có một # x # yếu tố trong #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Khi một yếu tố dương, yếu tố kia là âm, vì vậy f (x) là luôn luôn tiêu cực. Do đó, Khu vực:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Sử dụng máy tính:

# A = 39,6345 #

Câu trả lời:

Diện tích = 11.336,8 đơn vị vuông

Giải trình:

sự trao #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

để đơn giản #f (x) = y #

và # y = xe ^ -x -xe ^ x #

đạo hàm đầu tiên # y '# là cần thiết trong tính toán của diện tích bề mặt.

Khu vực # = 2pi int_1 ^ 3 y # # DS #

Ở đâu # DS ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Khu vực # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Xác định đạo hàm đầu tiên # y '#:

phân biệt # y = x (e ^ -x - e ^ x) # sử dụng đạo hàm của công thức sản phẩm

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

sau khi đơn giản hóa và bao thanh toán, kết quả là

đạo hàm đầu tiên # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Tính toán ngay Khu vực:

Diện tích = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # DS #

Khu vực # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Khu vực

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Đối với các tích phân phức tạp như thế này, chúng tôi có thể sử dụng Quy tắc của Simpson:

vậy đó

Khu vực

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Diện tích = -11.336.804

điều này liên quan đến hướng của cuộc cách mạng để có thể có diện tích bề mặt âm hoặc diện tích bề mặt dương. Chúng ta hãy xem xét giá trị dương Diện tích = 11336.804 đơn vị vuông