Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) câu hỏi mới ?

#a) #

Bạn chỉ cần lấy #Psi ^ "*" Psi #.

#color (màu xanh) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = màu (màu xanh) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Thời gian có thể được tìm thấy với nỗ lực tối thiểu, chỉ đơn giản bằng cách đầu tiên biết các năng lượng, là hằng số của chuyển động.

Năng lượng của # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # Là # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #và năng lượng của # phi_2 # Là # 4E_1 #. Do đó, tần số # omega_2 # của # phi_2 # gấp bốn lần # phi_1 # (# omega_1 #).

Kết quả là, giai đoạn # T_1 = (2pi) / (omega_1) # của # phi_1 # gấp bốn lần # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #và cũng là một khoảng thời gian # phi_2 #.

Thời kỳ là như vậy #color (màu xanh) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Tôi sẽ để bạn tự cắm cái này vào #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. Bạn không cần phải làm gì với nó …

Chúng ta biết rằng #T = (2pi) / (omega_1) #và đó # (iEt) / = iomegat #, vì thế

#E_n = omega_nℏ #.

Kết quả là

# pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1)) #

và

#color (màu xanh) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1)) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1)) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = màu (xanh dương) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

Xác suất tìm thấy hạt trong # 0, L / 2 # được cho là

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Hai thuật ngữ đầu tiên đối xứng với một nửa biên độ và năng suất #50%# tổng thể.

Nhiệm kỳ thứ ba sẽ có xác suất trạng thái đứng yên là # 4 / (3pi) #và # cos # là một yếu tố pha tùy ý. Do đó, xác suất tổng thể là

# = màu (xanh dương) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (màu xanh) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Không có giải pháp tầm thường nào cho việc này … Điều này hóa ra là:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = màu (xanh dương) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#f) #

Tại #x = L / 2 #, các #tội# điều khoản đi đến #sin (pi / 2) = 1 # và để #sin (pi) = 0 #, tương ứng.

Kể từ khi #sin (pi) = 0 #, phần phụ thuộc thời gian của #Psi ^ "*" Psi # biến mất và phần độc lập với thời gian giữ lại # 1 / L # như mật độ xác suất.