Giải rìu ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Câu trả lời:

Một bản phác thảo nhanh …

Giải trình:

Được:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # với #a! = 0 #

Điều này trở nên lộn xộn khá nhanh, vì vậy tôi sẽ chỉ phác thảo một phương pháp …

Nhân với # 256a ^ 3 # và thay thế #t = (4ax + b) # để có được một tứ tấu monic chán nản của hình thức:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Lưu ý rằng vì điều này không có thời hạn trong # t ^ 3 #, nó phải có yếu tố ở dạng:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-Tại + B) (t ^ 2 + Tại + C) #

#color (trắng) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Hệ số tương đương và sắp xếp lại một chút, chúng ta có:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Vì vậy, chúng tôi tìm thấy:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (trắng) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (trắng) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Nhân lên, nhân lên # A ^ 2 # và sắp xếp lại một chút, điều này trở thành:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

"Khối trong # A ^ 2 #"có ít nhất một gốc thực. Lý tưởng nhất là nó có gốc thực dương mang lại hai giá trị thực có thể có cho # A #. Bất kể, bất kỳ gốc của khối sẽ làm.

Cho giá trị của # A #, chúng ta có:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Do đó, chúng tôi nhận được hai ô tiêu chuẩn để giải quyết.