Nước rò rỉ trên sàn tạo thành một bể tròn. Bán kính của hồ bơi tăng với tốc độ 4 cm / phút. Làm thế nào nhanh là diện tích của hồ bơi tăng khi bán kính là 5 cm?

Nước rò rỉ trên sàn tạo thành một bể tròn. Bán kính của hồ bơi tăng với tốc độ 4 cm / phút. Làm thế nào nhanh là diện tích của hồ bơi tăng khi bán kính là 5 cm?
Anonim

Câu trả lời:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ phút" #

Giải trình:

Đầu tiên, chúng ta nên bắt đầu với một phương trình mà chúng ta biết liên quan đến diện tích hình tròn, bể bơi và bán kính của nó:

# A = cướp biển ^ 2 #

Tuy nhiên, chúng tôi muốn xem diện tích của hồ bơi tăng nhanh như thế nào, nghe có vẻ giống như tốc độ … nghe có vẻ giống như một công cụ phái sinh.

Nếu chúng ta lấy đạo hàm của # A = cướp biển ^ 2 # đối với thời gian, # t #, chúng ta thấy rằng:

# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #

(Đừng quên rằng quy tắc chuỗi được áp dụng ở phía bên tay phải, với # r ^ 2 #- điều này tương tự như sự khác biệt ngầm.)

Vì vậy, chúng tôi muốn xác định # (dA) / dt #. Câu hỏi cho chúng tôi biết rằng # (dr) / dt = 4 # khi nó nói "bán kính của hồ bơi tăng với tốc độ #4# cm / phút, "và chúng tôi cũng biết rằng chúng tôi muốn tìm # (dA) / dt # khi nào # r = 5 #. Cắm các giá trị này vào, chúng ta thấy rằng:

# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Để nói điều này, chúng tôi nói rằng:

Diện tích của hồ bơi đang tăng lên với tốc độ # bb40pi # cm# "" ^ bb2 #/ phút khi bán kính của vòng tròn là # bb5 # cm.